EÙkle…dhj
Stoice‹a

Lucius Hartmann

Inhalt
Biographie und Werk 	 3 – 4
Texte 	 5 – 27
Geometrie (1. Buch) 	 5 – 10
Geometrie (2. Buch) 	 11 – 14
Konstruktion der regelmässigen n-Ecke (4. Buch) 	 15 – 17
Arithmetik (7. Buch) 	 18 – 20
Geometrie im dreidimensionalen Raum (11. und 12. Buch) 	 21 – 27
Wörter 	 28 – 33
Kommentar 	 34 – 40
Skizzen 	 41 – 44
Bibliographie 	 45

Biographie und Werk
Biographie
• vgl. Kleiner Pauly
• jünger als Plat. und dessen direkte Schüler, älter als Archimedes
• Ausbildung (philosophisch und mathematisch) in Athen
• Wirken und Lehre in Alexandria
Werk
Überliefert sind folgende Werke:
•	Elemente (13 Bücher)
	1 – 4: ebene Trigonometrie
	5 – 6: Proportionen
	7 – 10: Arithmetik
	11 – 13: 3-dim. Raum, platonische Körper (Ziel des Werkes)
•	Data (planimetrische Probleme)
•	Phaenomena (Sphärik)
•	Optica (Perspektive)
•	Sectio canonis (math. Musiktheorie)
Proklos, Eucl. El. p. 68, 6 – p. 69, 7 Friedlein
OÙ pÒlu d toÚtwn <maqhtîn toà Pl£twnoj> neèterÒj ™stin EÙkle…dhj Ð t¦ stoice‹a sunagagën kaˆ poll¦ mn tîn EÙdÒxou sunt£xaj, poll¦ d tîn Qeait»tou telews£menoj, œti d t¦ malakèteron deiknÚmena to‹j œmprosqen e“j ¢nelšgktouj ¢pode…xeij ¢nagagèn. Gšgone d oátoj Ð ¢n¾r ™pˆ toà prètou Ptolema…ou: kaˆ g¦r Ð 'Arcim»dhj ™pibalën kaˆ tù prètJ mnhmoneÚei toà EÙkle…dou, kaˆ mšntoi ka… fasin Óti Ptolema‹oj ½retÒ pote aÙtÒn, e‡ t…j ™stin perˆ gewmetr…an ÐdÕj suntomwtšra tÁj stoiceièsewj: Ð d ¢pekr…nato, m¾ enai basilik¾n ¢trapÕn ™pˆ gewmetr…an. Neèteroj mn oân ™sti tîn perˆ Pl£twna, presbÚteroj d 'Eratosqšnouj kaˆ 'Arcim»douj. Oátoi g¦r sÚgcronoi ¢ll»loij, éj poÚ fhsin 'Eratosqšnhj. Kaˆ tÍ proairšsei d PlatwnikÒj ™sti kaˆ tÍ filosof…v taÚtV o“ke‹oj, Óqen d¾ kaˆ tÁj sump£shj stoiceièsewj tšloj proest»sato t¾n tîn kaloumšnwn Platwnikîn schm£twn sÚstasin. Poll¦ mn oân kaˆ ¥lla toà ¢ndrÕj toÚtou maqhmatik¦ suggr£mmata qaumastÁj ¢kribe…aj ka… ™pisthmonikÁj qewr…aj mest£. Toiaàta g¦r kaˆ t¦ Ñptik¦ kaˆ t¦ katoptrik£, toiaàtai d kaˆ aƒ kat¦ mousik¾n stoiceièseij, œti d tÕ perˆ diairšsewn bibl…on. DiaferÒntwj d' ¥n tij aÙtÕn ¢gasqe…h kat¦ t¾n gewmetrik¾n stoice…wsin tÁj t£xewj ›neka kaˆ tÁj ™klogÁj tîn prÕj t¦ stoice‹a pepoihmšnwn qewrhm£twn te kaˆ problhm£twn.
Vorbemerkungen
•	Aufbau: Definitionen, Postulate, Axiome, Problemata, Theoremata, Porismata (Folgerungen), Lemmata (Hilfssätze)
•	sehr starke geometrische Orientierung
•	fehlende Algebra (von den Arabern erfunden)
•	Exaktheit des Aufbaus
•	Terminologie
Auswahl der Texte
Ich habe mich für die folgenden Texte entschieden (die mit (*) versehen Themen sind relativ kompliziert):
• Definition, Postulate und Axiome des 1. Buches (ebene Geometrie)
• Beweisschema
• Satz von Pythagoras
• Fehlende Algebra illustriert an Theorema II, e'
• Flächengleiches Quadrat zu vorgegebenem Viereck
• Konstruktion des regelmässigen 5-Eckes (*)
• Konstruktion des regelmässigen 15-Eckes (*)
• Definitionen des 7. Buches (Arithmetik)
• Euklidischer Algorithmus
• Definitionen des 11. Buches (räumliche Geometrie)
• Volumen von Pyramide und Kegel (*)
Es können aber durchaus auch andere Sätze gewählt werden bzw. die ausgewählten Texte (sinnvoll) gekürzt werden.
Begründung der Euklidlektüre
• axiomatischer Aufbau der Mathematik
• exakte Wissenschaft (teilweise bis heute gültig!)
• Wirkung bis ins Mittelalter und die Neuzeit
• Terminologie auch ins Deutsche übernommen
• Lektüre bekannter Sätze im Original
• logische Struktur der griechischen Sprache (va. Konnektoren)

Geometrie (1. Buch)
Definitionen
OROI
a'.	Shme‹Òn ™stin, oá mšroj oÙqšn.
b'.	Gramm¾ d mÁkoj ¢platšj.
g'.	GrammÁj d pšrata shme‹a.
d'.	EÙqe‹a gramm» ™stin, ¼tij ™x ‡sou to‹j ™f' ˜autÁj shme…oij ke‹tai.
e'.	'Epif£neia dš ™stin, Ö mÁkoj kaˆ pl£toj mÒnon œcei.
j'.	'Epifane…aj d pšrata gramma….
z'.	'Ep…pedoj ™pif£nei£ ™stin, ¼tij ™x ‡sou ta‹j ™f' ˜autÁj eÙqe…aij ke‹tai.
h'.	'Ep…pedoj d gwn…a ™stˆn ¹ ™n ™pipšdJ dÚo grammîn ¡ptomšnwn ¢ll»lwn kaˆ m¾ ™p' eÙqe…aj keimšnwn prÕj ¢ll»laj tîn grammîn kl…sij.
q'.	”Otan d aƒ perišcousai t¾n gwn…an grammaˆ eÙqe‹ai ðsin, eÙqÚgrammoj kale‹tai ¹ gwn…a.
i'.	”Otan d eÙqe‹a ™p' eÙqe‹an staqe‹sa t¦j ™fexÁj gwn…aj ‡saj ¢ll»laij poiÍ, Ñrq¾ ˜katšra tîn ‡swn gwniîn ™sti, kaˆ ¹ ™festhku‹a eÙqe‹a k£qetoj kale‹tai, ™f' ¿n ™fšsthken.
ia'.	'Amble‹a gwn…a ™stˆn ¹ me…zwn ÑrqÁj.
ib'.	'Oxe‹a d ¹ ™l£sswn ÑrqÁj.
ig'.	”Oroj ™st…n, Ó tinÒj ™sti pšraj.
id'.	ScÁma ™sti tÕ ØpÕ tinoj ½ tinwn Órwn periecÒmenon.
ie'.	KÚkloj ™stˆ scÁma ™p…pedon ØpÕ mi©j grammÁj periecÒmenon ¿ kale‹tai perifšreia, prÕj ¿n ¢f' ˜noj shme…ou tîn ™ntÕj toà sc»matoj keimšnwn p©sai aƒ prosp…ptousai eÙqe‹ai prÕj t¾n toà kÚklou perifšreian ‡sai ¢ll»laij e“s…n.
ij'.	Kšntron d toà kÚklou tÕ shme‹on kale‹tai.
iz'.	Di£metroj d toà kÚklou ™stˆn eÙqe‹£ tij di¦ toà kšntrou ºgmšnh kaˆ peratoumšnh ™f' ˜k£tera t¦ mšrh ØpÕ tÁj toà kÚklou perifere…aj, ¼tij kaˆ d…ca tšmnei tÕn kÚklon.
ih'.	`HmikÚklion dš ™sti tÕ periecÒmenon scÁma ØpÒ te tÁj diamštrou kaˆ tÁj ¢polambanomšnhj Øp' aÙtÁj perifere…aj. Kšntron d toà ¹mikukl…ou tÕ aÙtÒ, Ö kaˆ toà kÚklou ™st…n.
iq'.	Sc»mata eÙqÚgramm£ ™sti t¦ ØpÕ eÙqeiîn periecÒmena, tr…pleura mn t¦ ØpÕ triîn, tetr£pleura d t¦ ØpÕ tess£rwn, polÚpleura d t¦ ØpÕ pleiÒnwn À tess£rwn eÙqeiîn periecÒmena.
k'.	Tîn d tripleÚrwn schm£twn “sÒpleuron mn tr…gwnÒn ™sti tÕ t¦j tre‹j ‡saj œcon pleur£j, “soskelj d tÕ t¦j dÚo mÒnaj ‡saj œcon pleur£j, skalhnÕn d tÕ t¦j tre‹j ¢n…souj œcon pleur£j.
ka'.	”Eti d tîn tripleÚrwn schm£twn Ñrqogènion mn tr…gwnÒn ™sti tÕ œcon Ñrq¾n gwn…an, ¢mblugènion d tÕ œcon ¢mble‹an gwn…an, Ñxugènion d tÕ t¦j tre‹j Ñxe…aj œcon gwn…aj.
kb'.	Tîn d tetrapleÚrwn schm£twn tetr£gwnon mšn ™stin, Ö “sÒpleurÒn tš ™sti kaˆ Ñrqogènion, ˜terÒmhkej dš, Ö Ñrqogènion mšn, oÙk “sÒpleuron dš, ·Òmboj dš, Ö “sÒpleuron mšn, oÙk Ñrqogènion dš, ·omboeidj d tÕ t¦j ¢penant…on pleur£j te kaˆ gwn…aj ‡saj ¢ll»laij œcon, Ö oÜte “sÒpleurÒn ™stin oÜte Ñrqogènion: t¦ d par¦ taàta tetr£pleura trapšzia kale…sqw.
kg'.	Par£llhlo… e“sin eÙqe‹ai, a†tinej ™n tù aÙtù ™pipšdJ oâsai kaˆ ™kballÒmenai e“j ¥peiron ™f' ˜k£tera t¦ mšrh ™pˆ mhdštera sump…ptousin ¢ll»laij.
Postulate
AITHMATA
a'.	'Hit»sqw ¢pÕ pantÕj shme…ou ™pˆ p©n shme‹on eÙqe‹an gramm¾n ¢gage‹n.
b'.	Kaˆ peperasmšnhn eÙqe‹an kat¦ tÕ sunecj ™p' eÙqe…aj ™kbale‹n.
g'.	Kaˆ pantˆ kšntrJ kaˆ diast»mati kÚklon gr£fesqai.
d'.	Kaˆ p£saj t¦j Ñrq¦j gwn…aj ‡saj ¢ll»laij enai.
e'.	Kaˆ ™¦n e“j dÚo eÙqe…aj eÙqe‹a ™mp…ptousa t¦j ™ntÕj kaˆ ™pˆ t¦ aÙt¦ mšrh gwn…aj dÚo Ñrqîn ™l£ssonaj poiÍ, ™kballomšnaj t¦j dÚo eÙqe…aj ™p' ¥peiron sump…ptein, ™f' § mšrh e“sˆn aƒ tîn dÚo Ñrqîn ™l£ssonej.
Axiome
KOINAI ENNOIAI
a'.	T¦ tù aÙtù ‡sa kaˆ ¢ll»loij ™stˆn ‡sa.
b'.	Kaˆ ™¦n ‡soij ‡sa prosteqÍ, t¦ Óla ‡sa.
g'.	Kaˆ ™¦n ¢pÕ ‡swn ‡sa ¢faireqÍ, t¦ kataleipÒmen£ ™stin ‡sa.
d'.	Kaˆ ™¦n ¢n…soij ‡sa prosteqÍ, t¦ Óla ™stˆn ¥nisa.
e'.	Kaˆ t¦ toà aÙtoà dipl£sia ‡sa ¢ll»loij ™st…n.
j'.	Kaˆ t¦ toà aÙtoà ¹m…sh ‡sa ¢ll»loij ™st…n.
z'.	Kaˆ t¦ ™farmÒzonta ™p' ¥llhla ‡sa ¢ll»loij ™st…n.
h'.	Kaˆ tÕ Ólon toà mšrouj me‹zon ™st…n.
q'.	Kaˆ dÚo eÙqe‹ai cwr…on oÙ perišcousin.
Beweisschema
PrÒblhma a'.
'Epˆ tÁj doqe…shj eÙqe…aj peperasmšnhj tr…gwnon “sÒpleuron sust»sasqai.
”Estw ¹ doqe‹sa eÙqe‹a peperasmšnh ¹ AB.
De‹ d¾ ™pˆ tÁj AB eÙqe…aj tr…gwnon “sÒpleuron sust»sasqai.
KšntrJ mn tù A diast»mati d tù AB kÚkloj gegr£fqw Ð BGD, kaˆ p£lin kšntrJ mn tù B diast»mati d tù BA kÚkloj gegr£fqw Ð AGE, kaˆ ¢pÕ toà G shme…ou, kaq' Ön tšmnousin ¢ll»louj oƒ kÚkloi, ™pˆ t¦ A, B shme‹a ™pezeÚcqwsan eÙqe‹ai aƒ GA, GB.
Kaˆ ™peˆ tÕ A shme‹on kšntron ™stˆ toà GDB kÚklou, ‡sh ™stˆn ¹ AG tÍ AB: p£lin, ™peˆ tÕ B shme‹on kšntron ™stˆ toà GAE kÚklou, ‡sh ™stˆn ¹ BG tÍ BA. 'Ede…cqh d kaˆ ¹ GA tÍ AB ‡sh: ˜katšra ¥ra tîn GA, GB tÍ AB ™stˆn ‡sh. T¦ d tù aÙtù ‡sa kaˆ ¢ll»loij ™stˆn ‡sa: kaˆ ¹ GA ¥ra tÍ GB ™stˆn ‡sh: aƒ tre‹j ¥ra aƒ GA, AB, BG ‡sai ¢ll»laij e“s…n.
'IsÒpleuron ¥ra ™stˆ tÕ ABG tr…gwnon, kaˆ sunšstatai ™pˆ tÁj doqe…shj eÙqe…aj peperasmšnhj tÁj AB.
'Epˆ tÁj doqe…shj ¥ra eÙqe…aj peperasmšnhj tr…gwnon “sÒpleuron sunšstatai: Óper œdei poiÁsai.
PrÒblhma b'.
PrÕj tù doqšnti shme…J tÍ doqe…sV eÙqe…v ‡shn eÙqe‹an qšsqai.
”Estw tÕ mn doqn shme‹on tÕ A, ¹ d doqe‹sa eÙqe‹a ¹ BG:
de‹ d¾ prÕj tù A shme…J tÍ doqe…sV eÙqe…v tÍ BG ‡shn eÙqe‹an qšsqai.
'EpezeÚcqw g¦r ¢pÕ toà A shme…ou ™pˆ tÕ B shme‹on eÙqe‹a ¹ AB, kaˆ sunest£tw ™p' aÙtÁj tr…gwnon “sÒpleuron tÕ DAB, kaˆ ™kbebl»sqwsan ™p' eÙqe…aj ta‹j DA, DB eÙqe‹ai aƒ AE, BZ, kaˆ kšntrJ mn tù B diast»mati d tù BG kÚkloj gegr£fqw Ð GHQ, kaˆ p£lin kšntrJ tù D kaˆ diast»mati tù DH kÚkloj gegr£fqw Ð HKL.
'Epeˆ oân tÕ B shme‹on kšntron ™stˆ toà GHQ kÚklou, ‡sh ™stˆn ¹ BG tÍ BH. P£lin, ™peˆ tÕ D shme‹on kšntron ™stˆ toà KLH kÚklou, ‡sh ™stˆn ¹ DL tÍ DH, ïn ¹ DA tÍ DB ‡sh ™st…n. Loip¾ ¥ra ¹ AL loipÍ tÍ BH ™stˆn ‡sh. 'Ede…cqh d kaˆ ¹ BG tÍ BH ‡sh: ˜katšra ¥ra tîn AL, BG tÍ BH ™stˆn ‡sh. T¦ d tù aÙtù ‡sa kaˆ ¢ll»loij ™stˆn ‡sa: kaˆ ¹ AL ¥ra tÍ BG ™stˆn ‡sh.
PrÕj ¥ra tù doqšnti shme…J tù A tÍ doqe…sV eÙqe…v tÍ BG ‡sh eÙqe‹a ke‹tai ¹ AL: Óper œdei poiÁsai.
PrÒblhma g'.
DÚo doqeisîn eÙqeiîn ¢n…swn ¢pÕ tÁj me…zonoj tÍ ™l£ssoni ‡shn eÙqe‹an ¢fele‹n.
”Estwsan aƒ doqe‹sai dÚo eÙqe‹ai ¥nisoi aƒ AB, G, ïn me…zwn œstw ¹ AB:
de‹ d¾ ¢pÕ tÁj me…zonoj tÁj AB tÍ ™l£ssoni tÍ G ‡shn eÙqe‹an ¢fele‹n.
Ke…sqw prÕj tù A shme…J tÍ G eÙqe…v ‡sh ¹ AD: kaˆ kšntrJ mn tù A diast»mati d tù AD kÚkloj gegr£fqw Ð DEZ.
Kaˆ ™peˆ tÕ A shme‹on kšntron ™stˆ toà DEZ kÚklou, ‡sh ™stˆn ¹ AE tÍ AD: ¢ll¦ kaˆ ¹ G tÍ AD ™stin ‡sh. ˜katšra ¥ra tîn AE, G tÍ AD ™stin ‡sh: éste kaˆ ¹ AE tÍ G ™stin ‡sh.
DÚo ¥ra doqeisîn eÙqeiîn ¢n…swn tîn AB, G ¢pÕ tÁj me…zonoj tÁj AB tÍ ™l£ssoni tÍ G ‡sh ¢fÇrhtai ¹ AE: Óper œdei poiÁsai. 
Qeèrhma d'.
'E¦n dÚo tr…gwna t¦j dÚo pleur¦j [ta‹j] dusˆ pleura‹j ‡saj œcV ˜katšran ˜katšrv kaˆ t¾n gwn…an tÍ gwn…v ‡shn œcV t¾n ØpÕ tîn ‡swn eÙqeiîn periecomšnhn, kaˆ t¾n b£sin tÍ b£sei ‡shn ›xei, kaˆ tÕ tr…gwnon tù trigènJ ‡son œstai, kaˆ aƒ loipaˆ gwn…ai ta‹j loipa‹j gwn…aij ‡sai œsontai ˜katšra ˜katšrv, Øf' §j aƒ ‡sai pleuraˆ Øpote…nousin.
”Estw dÚo tr…gwna t¦ ABG, DEZ t¦j dÚo pleur¦j t¦j AB, AG ta‹j dusˆ pleura‹j ta‹j DE, DZ ‡saj œconta ˜katšran ˜katšrv t¾n mn AB tÍ DE t¾n d AG tÍ DZ kaˆ gwn…an t¾n ØpÕ BAG gwn…v tÍ ØpÕ EDZ ‡shn.
Lšgw, Óti kaˆ b£sij ¹ BG b£sei tÍ EZ ‡sh ™st…n, kaˆ tÕ ABG tr…gwnon tù DEZ trigènJ ‡son œstai, kaˆ aƒ loipaˆ gwn…ai ta‹j loipa‹j gwn…aij ‡sai œsontai ˜katšra ˜katšrv, Øf' §j aƒ ‡sai pleuraˆ Øpote…nousin, ¹ mn ØpÕ ABG tÍ ØpÕ DEZ, ¹ d ØpÕ AGB tÍ ØpÕ DZE.
'Efarmozomšnou g¦r toà ABG trigènou ™pˆ tÕ DEZ tr…gwnon kaˆ tiqemšnou toà mn A shme…ou ™pˆ tÕ D shme‹on tÁj d AB eÙqe…aj ™pˆ t¾n DE, ™farmÒsei kaˆ tÕ B shme‹on ™pˆ tÕ E di¦ tÕ ‡shn enai t¾n AB tÍ DE: ™farmos£shj d¾ tÁj AB ™pˆ t¾n DE ™farmÒsei kaˆ ¹ AG eÙqe‹a ™pˆ t¾n DZ di¦ tÕ ‡shn enai t¾n ØpÕ BAG gwn…an tÍ ØpÕ EDZ: éste kaˆ tÕ G shme‹on ™pˆ tÕ Z shme‹on ™farmÒsei di¦ tÕ ‡shn p£lin enai t¾n AG tÍ DZ. 'All¦ m¾n kaˆ tÕ B ™pˆ tÕ E ™fhrmÒkei: éste b£sij ¹ BG ™pˆ b£sin t¾n EZ ™farmÒsei. E“ g¦r toà mn B ™pˆ tÕ E ™farmÒsantoj toà d G ™pˆ tÕ Z ¹ BG b£sij ™pˆ t¾n EZ oÙk ™farmÒsei, dÚo eÙqe‹ai cwr…on perišxousin: Óper ™stˆn ¢dÚnaton. 'EfarmÒsei ¥ra ¹ BG b£sij ™pˆ t¾n EZ kaˆ ‡sh aÙtÍ œstai: éste kaˆ Ólon tÕ ABG tr…gwnon ™pˆ Ólon tÕ DEZ tr…gwnon ™farmÒsei kaˆ ‡son aÙtù œstai, kaˆ aƒ loipaˆ gwn…ai ™pˆ t¦j loip¦j gwn…aj ™farmÒsousi kaˆ ‡sai aÙta‹j œsontai, ¹ mn ØpÕ ABG tÍ ØpÕ DEZ ¹ d ØpÕ AGB tÍ ØpÕ DZE.
'E¦n ¥ra dÚo tr…gwna t¦j dÚo pleur¦j [ta‹j] dÚo pleura‹j ‡saj œcV ˜katšran ˜katšrv kaˆ t¾n gwn…an tÍ gwn…v ‡shn œcV t¾n ØpÕ tîn ‡swn eÙqeiîn periecomšnhn, kaˆ t¾n b£sin tÍ b£sei ‡shn œxei, kaˆ tÕ tr…gwnon tù trigènJ ‡son œstai, kaˆ aƒ loipaˆ gwn…ai ta‹j loipa‹j gwn…aij ‡sai œsontai ˜katšra ˜katšrv, Øf' §j aƒ ‡sai pleuraˆ Øpote…nousin: Óper œdei de‹xai. 
Satz von Pythagoras
Proklos p. 426, 6 – 9 Friedlein:
Tîn mn ƒstore‹n t¦ ¢rca‹a boulomšnwn ¢koÚontaj tÕ qeèrhma toàto e“j PuqagÒran ¢napempÒntwn ™stˆn eØre‹n kaˆ bouqute‹n legÒntwn aÙtÕn ™pˆ tÍ eØršsei.
Qeèrhma mz'.
'En to‹j Ñrqogwn…oij trigènoij tÕ ¢pÕ tÁj t¾n Ñrq¾n gwn…an ØpoteinoÚshj pleur©j tetr£gwnon ‡son ™stˆ to‹j ¢pÕ tîn t¾n Ñrq¾n gwn…an periecousîn pleurîn tetragènoij. 
”Estw tr…gwnon Ñrqogènion tÕ ABG Ñrq¾n œcon t¾n ØpÕ BAG gwn…an:
lšgw, Óti tÕ ¢pÕ tÁj BG tetr£gwnon ‡son ™stˆ to‹j ¢pÕ tîn BA, AG tetragènoij.
'Anagegr£fqw g¦r ¢pÕ mn tÁj BG tetr£gwnon tÕ BDEG, ¢pÕ d tîn BA, AG t¦ HB, QG, kaˆ di¦ toà A Ðpotšrv tîn BD, GE par£llhloj ½cqw ¹ AL: kaˆ ™pezeÚcqwsan aƒ AD, ZG. Kaˆ ™peˆ Ñrq» ™stin ˜katšra tîn ØpÕ BAG, BAH gwniîn, prÕj d» tini eÙqe…v tÍ BA kaˆ tù prÕj aÙtÍ shme…J tù A dÚo eÙqe‹ai aƒ AG, AH m¾ ™pˆ t¦ aÙt¦ mšrh ke…menai t¦j ™fexÁj gwn…aj dusˆn Ñrqa‹j ‡saj poioàsin: ™p' eÙqe…aj ¥ra ™stˆn ¹ GA tÍ AH. Di¦ t¦ aÙt¦ d¾ kaˆ ¹ BA tÍ AQ ™stin ™p' eÙqe…aj. Kaˆ ™peˆ ‡sh ™stˆn ¹ ØpÕ DBG gwn…a tÍ ØpÕ ZBA: Ñrq¾ g¦r ˜katšra: koin¾ proske…sqw ¹ ØpÕ ABG: Ólh ¥ra ¹ ØpÕ DBA ÓlV tÍ ØpÕ ZBG ™stin ‡sh. Kaˆ ™peˆ ‡sh ™stˆn ¹ mn DB tÍ BG, ¹ d ZB tÍ BA, dÚo d¾ aƒ DB, BA dÚo ta‹j ZB, BG ‡sai e“sˆn ˜katšra ˜katšrv: kaˆ gwn…a ¹ ØpÕ DBA gwn…v tÍ ØpÕ ZBG ‡sh: b£sij ¥ra ¹ AD b£sei tÍ ZG [™stin] ‡sh, kaˆ tÕ ABD tr…gwnon tù ZBG trigènJ ™stˆn ‡son: kaˆ [™stˆ] toà mn ABD trigènou dipl£sion tÕ BL parallhlÒgrammon: b£sin te g¦r t¾n aÙt¾n œcousi t¾n BD kaˆ ™n ta‹j aÙta‹j e“si parall»loij ta‹j BD, AL: toà d ZBG trigènou dipl£sion tÕ HB tetr£gwnon: b£sin te g¦r p£lin t¾n aÙt¾n œcousi t¾n ZB kaˆ ™n ta‹j aÙta‹j e“si parall»loij ta‹j ZB, HG. [T¦ d tîn ‡swn dipl£sia ‡sa ¢ll»loij ™st…n:] ‡son ¥ra ™stˆ kaˆ tÕ BL parallhlÒgrammon tù HB tetragènJ. `Omo…wj d¾ ™pizeugnumšnwn tîn AE, BK deicq»setai kaˆ tÕ GL parallhlÒgrammon ‡son tù QG tetragènJ: Ólon ¥ra tÕ BDEG tetr£gwnon dusˆ to‹j HB, QG tetragènoij ‡son ™st…n. Ka… ™sti tÕ mn BDEG tetr£gwnon ¢pÕ tÁj BG ¢nagrafšn, t¦ d HB, QG ¢pÕ tîn BA, AG. TÕ ¥ra ¢pÕ tÁj BG pleur©j tetr£gwnon ‡son ™stˆ to‹j ¢pÕ tîn BA, AG pleurîn tetragènoij.
'En ¥ra to‹j Ñrqogwn…oij trigènoij tÕ ¢pÕ tÁj t¾n Ñrq¾n gwn…an ØpoteinoÚshj pleur©j tetr£gwnon ‡son ™stˆ to‹j ¢pÕ tîn t¾n Ñrq¾n [gwn…an] periecousîn pleurîn tetragènoij: Óper œdei de‹xai.
Qeèrhma mh'.
'E¦n trigènou tÕ ¢pÕ mi©j tîn pleurîn tetr£gwnon ‡son Ï to‹j ¢pÕ tîn loipîn toà trigènou dÚo pleurîn tetragènoij, ¹ periecomšnh gwn…a ØpÕ tîn loipîn toà trigènou dÚo pleurîn Ñrq» ™stin.
Trigènou g¦r toà ABG tÕ ¢pÕ mi©j tÁj BG pleur©j tetr£gwnon ‡son œstw to‹j ¢pÕ tîn BA, AG pleurîn tetragènoij:
lšgw, Óti Ñrq» ™stin ¹ ØpÕ BAG gwn…a.
”Hcqw g¦r ¢pÕ toà A shme…ou tÍ AG eÙqe…v prÕj Ñrq¦j ¹ AD kaˆ ke…sqw tÍ BA ‡sh ¹ AD, kaˆ ™pezeÚcqw ¹ DG. 'Epeˆ ‡sh ™stˆn ¹ DA tÍ AB, ‡son ™stˆ kaˆ tÕ ¢pÕ tÁj DA tetr£gwnon tù ¢pÕ tÁj AB tetragènJ. KoinÕn proske…sqw tÕ ¢pÕ tÁj AG tetr£gwnon: t¦ ¥ra ¢pÕ tîn DA, AG tetr£gwna ‡sa ™stˆ to‹j ¢pÕ tîn BA, AG tetragènoij. 'All¦ to‹j mn ¢pÕ tîn DA, AG ‡son ™stˆ tÕ ¢pÕ tÁj DG: Ñrq¾ g£r ™stin ¹ ØpÕ DAG gwn…a: to‹j d ¢pÕ tîn BA, AG ‡son ™stˆ tÕ ¢pÕ BG: ØpÒkeitai g£r: tÕ ¥ra ¢pÕ tÁj DG tetr£gwnon ‡son ™stˆ tù ¢pÕ tÁj BG tetragènJ: éste kaˆ pleur¦ ¹ DG tÍ BG ™stin ‡sh: kaˆ ™peˆ ‡sh ™stˆn ¹ DA tÍ AB, koin¾ d ¹ AG, dÚo d¾ aƒ DA, AG dÚo ta‹j BA, AG ‡sai e“s…n: kaˆ b£sij ¹ DG b£sei tÍ BG ‡sh: gwn…a ¥ra ¹ ØpÕ DAG gwn…v tÍ ØpÕ BAG [™stin] ‡sh. 'Orq¾ d ¹ ØpÕ DAG: Ñrq¾ ¥ra kaˆ ¹ ØpÕ BAG.
”E¦n ¥ra trigènou tÕ ¢pÕ mi©j tîn pleurîn tetr£gwnon ‡son Ï to‹j ¢pÕ tîn loipîn toà trigènou dÚo pleurîn tetragènoij, ¹ periecomšnh gwn…a ØpÕ tîn loipîn toà trigènou dÚo pleurîn Ñrq» ™stin: Óper œdei de‹xai. 

Geometrie (2. Buch)
Fehlende Algebra…
OROI
b'	PantÕj d parallhlogr£mmou cwr…ou tîn perˆ t¾n di£metron aÙtoà parallhlogr£mmwn žn Ðpoionoàn sÝn to‹j dusˆ paraplhrèmasi gnèmwn kale…sqw. 
Qeèrhma e'.
'E¦n eÙqe‹a gramm¾ tmhqÍ e“j ‡sa kaˆ ¥nisa, tÕ ØpÕ tîn ¢n…swn tÁj Ólhj tmhm£twn periecÒmenon Ñrqogènion met¦ toà ¢pÕ tÁj metaxÝ tîn tomîn tetragènou ‡son ™stˆ tù ¢pÕ tÁj ¹mise…aj tetragènJ.
EÙqe‹a g£r tij ¹ AB tetm»sqw e“j mn ‡sa kat¦ tÕ G, e“j d ¥nisa kat¦ tÕ D:
lšgw, Óti tÕ ØpÕ tîn AD, DB periecÒmenon Ñrqogènion met¦ toà ¢pÕ tÁj GD tetragènou ‡son ™stˆ tù ¢pÕ tÁj GB tetragènJ.
'Anagegr£fqw g¦r ¢pÕ tÁj GB tetr£gwnon tÕ GEZB, kaˆ ™pezeÚcqw ¹ BE, kaˆ di¦ mn toà D Ðpotšrv tîn GE, BZ par£llhloj ½cqw ¹ DH, di¦ d toà Q Ðpotšrv tîn AB, EZ par£llhloj p£lin ½cqw ¹ KM, kaˆ p£lin di¦ toà A Ðpotšrv tîn GL, BM par£llhloj ½cqw ¹ AK. Kaˆ ™peˆ ‡son ™stˆ tÕ GQ parapl»rwma tù QZ paraplhrèmati, koinÕn proske…sqw tÕ DM: Ólon ¥ra tÕ GM ÓlJ tù DZ ‡son ™st…n. 'All¦ tÕ GM tù AL ‡son ™st…n, ™peˆ kaˆ ¹ AG tÍ GB ™stin ‡sh: kaˆ tÕ AL ¥ra tù DZ ‡son ™st…n. KoinÕn proske…sqw tÕ GQ: Ólon ¥ra tÕ AQ tù MNX gnèmoni ‡son ™st…n. 'All¦ tÕ AQ tÕ ØpÕ tîn AD, DB ™stin: ‡sh g¦r ¹ DQ tÍ DB: kaˆ Ð MNX ¥ra gnèmwn ‡soj ™stˆ tù ØpÕ AD, DB. KoinÕn proske…sqw tÕ LH, Ó ™stin ‡son tù ¢pÕ tÁj GD: Ð ¥ra MNX gnèmwn kaˆ tÕ LH ‡sa ™stˆ tù ØpÕ tîn AD, DB periecomšnJ Ñrqogwn…J kaˆ tù ¢pÕ tÁj GD tetragènJ. 'All¦ Ð MNX gnèmwn kaˆ tÕ LH Ólon ™stˆ tÕ GEZB tetr£gwnon, Ó ™stin ¢pÕ tÁj GB: tÕ ¥ra ØpÕ tîn AD, DB periecÒmenon Ñrqogènion met¦ toà ¢pÕ tÁj GD tetragènou ‡son ™stˆ tù ¢pÕ tÁj GB tetragènJ.
'E¦n ¥ra eÙqe‹a gramm¾ tmhqÍ e“j ‡sa kaˆ ¥nisa, tÕ ØpÕ tîn ¢n…swn tÁj Ólhj tmhm£twn periecÒmenon Ñrqogènion met¦ toà ¢pÕ tÁj metaxÝ tîn tomîn tetragènou ‡son ™stˆ tù ¢pÕ tÁj ¹mise…aj tetragènJ: Óper œdei de‹xai. 
Zu beliebigem Viereck flächengleiches Quadrat
Als Vorbereitung für das entscheidende Problema id' benutzt Euklid folgenden Satz:
PrÒblhma me'.
Tù doqšnti eÙqugr£mmJ ‡son parallhlÒgrammon sust»sasqai ™n tÍ doqe…sV gwn…v eÙqugr£mmJ.
”Estw tÕ mn doqn eÙqÚgrammon tÕ ABGD, ¹ d doqe‹sa gwn…a eÙqÚgrammoj ¹ E:
de‹ d¾ tù ABGD eÙqugr£mmJ ‡son parallhlÒgrammon sust»sasqai ™n tÍ doqe…sV gwn…v tÍ E.
'EpezeÚcqw ¹ DB, kaˆ sunest£tw tù ABD trigènJ ‡son parallhlÒgrammon tÕ ZQ ™n tÍ ØpÕ QKZ gwn…v, ¼ ™stin ‡sh tÍ E: kaˆ parabebl»sqw par¦ t¾n HQ eÙqe‹an tù DBG trigènJ ‡son parallhlÒgrammon tÕ HM ™n tÍ ØpÕ HQM gwn…v, ¼ ™stin ‡sh tÍ E. Kaˆ ™peˆ ¹ E gwn…a ˜katšrv tîn ØpÕ QKZ, HQM ™stin ‡sh, kaˆ ¹ ØpÕ QKZ ¥ra tÍ ØpÕ HQM ™stin ‡sh. Koin¾ proske…sqw ¹ ØpÕ KQH: aƒ ¥ra ØpÕ ZKQ, KQH ta‹j ØpÕ KQH, HQM ‡sai e“s…n. 'All' aƒ ØpÕ ZKQ, KQH dusˆn Ñrqa‹j ‡sai e“s…n: kaˆ aƒ ØpÕ KQH, HQM ¥ra dÚo Ñrqa‹j ‡sai e“s…n. PrÕj d» tini eÙqe…v tÍ HQ kaˆ tù prÕj aÙtÍ shme…J tù Q dÚo eÙqe‹ai aƒ KQ, QM m¾ ™pˆ t¦ aÙt¦ mšrh ke…menai t¦j ™fexÁj gwn…aj dÚo Ñrqa‹j ‡saj poioàsin: ™p' eÙqe…aj ¥ra ™stˆn ¹ KQ tÍ QM: kaˆ ™peˆ e“j parall»louj t¦j KM, ZH eÙqe‹a ™nšpesen ¹ QH, aƒ ™nall¦x gwn…ai aƒ ØpÕ MQH, QHZ ‡sai ¢ll»laij e“s…n. Koin¾ proske…sqw ¹ ØpÕ QHL: aƒ ¥ra ØpÕ MQH, QHL ta‹j ØpÕ QHZ, QHL ‡sai e“s…n. 'All' aƒ ØpÕ MQH, QHL dÚo Ñrqa‹j ‡sai e“s…n: kaˆ aƒ ØpÕ QHZ, QHL ¥ra dÚo Ñrqa‹j ‡sai e“s…n: ™p' eÙqe…aj ¥ra ™stˆn ¹ ZH tÍ HL. Kaˆ ™peˆ ¹ ZK tÍ QH ‡sh te kaˆ par£llhlÒj ™stin, ¢ll¦ kaˆ ¹ QH tÍ ML, kaˆ ¹ KZ ¥ra tÍ ML ‡sh te kaˆ par£llhlÒj ™stin: kaˆ ™pizeugnÚousin aÙt¦j eÙqe‹ai aƒ KM, ZL: kaˆ aƒ KM, ZL ¥ra ‡sai te kaˆ par£llhlo… e“sin: parallhlÒgrammon ¥ra ™stˆ tÕ KZLM. Kaˆ ™peˆ ‡son ™stˆ tÕ mn ABD tr…gwnon tù ZQ parallhlogr£mmJ, tÕ d DBG tù HM, Ólon ¥ra tÕ ABGD eÙqÚgrammon ÓlJ tù KZLM parallhlogr£mmJ ™stˆn ‡son.
Tù ¥ra doqšnti eÙqugr£mmJ tù ABGD ‡son parallhlÒgrammon sunšstatai tÕ KZLM ™n gwn…v tÍ ØpÕ ZKM, ¼ ™stin ‡sh tÍ doqe…sV tÍ E: Óper œdei poiÁsai. 
PrÒblhma id'.
Tù doqšnti eÙqugr£mmJ ‡son tetr£gwnon sust»sasqai.
”Estw tÕ doqn eÙqÚgrammon tÕ A:
de‹ d¾ tù A eÙqugr£mmJ ‡son tetr£gwnon sust»sasqai.
Sunest£tw g¦r tù A eÙqugr£mmJ ‡son parallhlÒgrammon Ñrqogènion tÕ BD: e“ mn oân ‡sh ™stˆn ¹ BE tÍ ED, gegonÕj ¨n e‡h tÕ ™pitacqšn. Sunšstatai g¦r tù A eÙqugr£mmJ ‡son tetr£gwnon tÕ BD: e“ d oÜ, m…a tîn BE, ED me…zwn ™st…n. ”Estw me…zwn ¹ BE,  kaˆ ™kbebl»sqw ™pˆ tÕ Z, kaˆ ke…sqw tÍ ED ‡sh ¹ EZ, kaˆ tetm»sqw ¹ BZ d…ca kat¦ tÕ H, kaˆ kšntrJ tù H, diast»mati d ˜nˆ tîn HB, HZ ¹mikÚklion gegr£fqw tÕ BQZ, kaˆ ™kbebl»sqw ¹ DE ™pˆ tÕ Q, kaˆ ™pezeÚcqw ¹ HQ.
'Epeˆ oân eÙqe‹a ¹ BZ tštmhtai e“j mn ‡sa kat¦ tÕ H, e“j d ¥nisa kat¦ tÕ E, tÕ ¥ra ØpÕ tîn BE, EZ periecÒmenon Ñrqogènion met¦ toà ¢pÕ tÁj EH tetragènou ‡son ™stˆ tù ¢pÕ tÁj HZ tetragènJ. ”Ish d ¹ HZ tÍ HQ: tÕ ¥ra ØpÕ tîn BE, EZ met¦ toà ¢pÕ tÁj HE ‡son ™stˆ tù ¢pÕ tÁj HQ. Tù d ¢pÕ tÁj HQ ‡sa ™stˆ t¦ ¢pÕ tîn QE, EH tetr£gwna: tÕ ¥ra ØpÕ tîn BE, EZ met¦ toà ¢pÕ HE ‡sa ™stˆ to‹j ¢pÕ tîn QE, EH. KoinÕn ¢fVr»sqw tÕ ¢pÕ tÁj HE tetr£gwnon: loipÕn ¥ra tÕ ØpÕ tîn BE, EZ periecÒmenon Ñrqogènion ‡son ™stˆ tù ¢pÕ tÁj EQ tetragènJ. 'All¦ tÕ ØpÕ tîn BE, EZ tÕ BD ™stin: ‡sh g¦r ¹ EZ tÍ ED: tÕ ¥ra BD parallhlÒgrammon ‡son ™stˆ tù ¢pÕ tÁj QE tetragènJ. ”Ison d tÕ BD tù A eÙqugr£mmJ. Kaˆ tÕ A ¥ra eÙqÚgrammon ‡son ™stˆ tù ¢pÕ tÁj EQ ¢nagrafhsomšnJ tetragènJ.
Tù ¥ra doqšnti eÙqugr£mmJ tù A ‡son tetr£gwnon sunšstatai tÕ ¢pÕ tÁj EQ ¢nagrafhsÒmenon: Óper œdei poiÁsai. 

Konstruktion der regelmässigen n-Ecke (4. Buch)
Regelmässiges 5-Eck
PrÒblhma i'.
'Isoskelj tr…gwnon sust»sasqai œcon ˜katšran tîn prÕj tÍ b£sei gwniîn diplas…ona tÁj loipÁj.
'Ekke…sqw tij eÙqe‹a ¹ AB, kaˆ tetm»sqw kat¦ tÕ G shme‹on, éste tÕ ØpÕ tîn AB, BG periecÒmenon Ñrqogènion ‡son enai tù ¢pÕ tÁj GA tetragènJ: kaˆ kšntrJ tù A kaˆ diast»mati tù AB kÚkloj gegr£fqw Ð BDE, kaˆ ™nhrmÒsqw e“j tÕn BDE kÚklon tÍ AG eÙqe…v m¾ me…zoni oÜsV tÁj toà BDE kÚklou diamštrou ‡sh eÙqe‹a ¹ BD: kaˆ ™pezeÚcqwsan aƒ AD, DG, kaˆ perigegr£fqw perˆ tÕ AGD tr…gwnon kÚkloj Ð AGD.
Kaˆ ™peˆ tÕ ØpÕ tîn AB, BG ‡son ™stˆ tù ¢pÕ tÁj AG, ‡sh d ¹ AG tÍ BD, tÕ ¥ra ØpÕ tîn AB, BG ‡son ™stˆ tù ¢pÕ tÁj BD. Kaˆ ™peˆ kÚklou toà AGD e‡lhpta… ti shme‹on ™ktÕj tÕ B, kaˆ ¢pÕ toà B prÕj tÕn AGD kÚklon prospeptèkasi dÚo eÙqe‹ai aƒ BA, BD, kaˆ ¹ mn aÙtîn tšmnei, ¹ d prosp…ptei, ka… ™sti tÕ ØpÕ tîn AB, BG ‡son tù ¢pÕ tÁj BD, ¹ BD ¥ra ™f£ptetai toà AGD kÚklou. 'Epeˆ oân ™f£ptetai mn ¹ BD, ¢pÕ d tÁj kat¦ tÕ D ™pafÁj diÁktai ¹ DG, ¹ ¥ra ØpÕ BDG gwn…a ‡sh ™stˆ tÍ ™n tù ™nall¦x toà kÚklou tm»mati gwn…v tÍ ØpÕ DAG. 'Epeˆ oân ‡sh ™stˆn ¹ ØpÕ BDG tÍ ØpÕ DAG, koin¾ proske…sqw ¹ ØpÕ GDA: Ólh ¥ra ¹ ØpÕ BDA ‡sh ™stˆ dusˆ ta‹j ØpÕ GDA, DAG. 'All¦ ta‹j ØpÕ GDA, DAG ‡sh ™stˆn ¹ ™ktÕj ¹ ØpÕ BGD: kaˆ ¹ ØpÕ BDA ¥ra ‡sh ™stˆ tÍ ØpÕ BGD. 'All¦ ¹ ØpÕ BDA tÍ ØpÕ GBD ™stin ‡sh, ™peˆ kaˆ pleur¦ ¹ AD tÍ AB ™stin ‡sh: éste kaˆ ¹ ØpÕ DBA tÍ ØpÕ BGD ™stin ‡sh. Aƒ tre‹j ¥ra aƒ ØpÕ BDA, DBA, BGD ‡sai ¢ll»laij e“s…n. Kaˆ ™peˆ ‡sh ™stˆn ¹ ØpÕ DBG gwn…a tÍ ØpÕ BGD, ‡sh ™stˆ kaˆ pleur¦ ¹ BD pleur´ tÍ DG. 'All¦ ¹ BD tÍ GA ØpÒkeitai ‡sh: kaˆ ¹ GA ¥ra tÍ GD ™stin ‡sh: éste kaˆ gwn…a ¹ ØpÕ GDA gwn…v tÍ ØpÕ DAG ™stin ‡sh: aƒ ¥ra ØpÕ GDA, DAG tÁj ØpÕ DAG e“si diplas…ouj. ”Ish d ¹ ØpÕ BGD ta‹j ØpÕ GDA, DAG: kaˆ ¹ ØpÕ BGD ¥ra tÁj ØpÕ GAD ™sti diplÁ. ”Ish d ¹ ØpÕ BGD ˜katšrv tîn ØpÕ BDA, DBA: kaˆ ˜katšra ¥ra tîn ØpÕ BDA, DBA tÁj ØpÕ DAB ™sti diplÁ.
'Isoskelj ¥ra tr…gwnon sunšstatai tÕ ABD œcon ˜katšran tîn prÕj tÍ DB b£sei gwniîn diplas…ona tÁj loipÁj: Óper œdei poiÁsai.
PrÒblhma ia'.
E“j tÕn doqšnta kÚklon pent£gwnon “sÒpleurÒn te kaˆ “sogènion ™ggr£yai.
”Estw Ð doqeˆj kÚkloj Ð ABGDE:
de‹ d¾ e“j tÕn ABGDE kÚklon pent£gwnon “sÒpleurÒn te kaˆ “sogènion ™ggr£yai.
'Ekke…sqw tr…gwnon “soskelj tÕ ZHQ diplas…ona œcon ˜katšran tîn prÕj to‹j H, Q gwniîn tÁj prÕj tù Z, kaˆ ™ggegr£fqw e“j tÕn ABGDE kÚklon tù ZHQ trigènJ “sogènion tr…gwnon tÕ AGD, éste tÍ mn prÕj tù Z gwn…v ‡shn enai t¾n ØpÕ GAD, ˜katšran d tîn prÕj to‹j H, Q ‡shn ˜katšrv tîn ØpÕ AGD, GDA: kaˆ ˜katšra ¥ra tîn ØpÕ AGD, GDA tÁj ØpÕ GAD ™sti diplÁ. Tetm»sqw d¾ ˜katšra tîn ØpÕ AGD, GDA d…ca ØpÕ ˜katšraj tîn GE, DB eÙqeiîn, kaˆ ™pezeÚcqwsan aƒ AB, BG, [GD], DE, EA.
'Epeˆ oân ˜katšra tîn ØpÕ AGD, GDA gwniîn diplas…wn ™stˆ tÁj ØpÕ GAD, kaˆ tetmhmšnai e“sˆ d…ca ØpÕ tîn GE, DB eÙqeiîn, aƒ pšnte ¥ra gwn…ai aƒ ØpÕ DAG, AGE, EGD, GDB, BDA ‡sai ¢ll»laij e“s…n. Aƒ d ‡sai gwn…ai ™pˆ ‡swn perifereiîn beb»kasin: aƒ pšnte ¥ra perifšreiai aƒ AB, BG, GD, DE, EA ‡sai ¢ll»laij e“s…n. `UpÕ d t¦j ‡saj perifere…aj ‡sai eÙqe‹ai Øpote…nousin: aƒ pšnte ¥ra eÙqe‹ai aƒ AB, BG, GD, DE, EA ‡sai ¢ll»laij e“s…n: “sÒpleuron ¥ra ™stˆ tÕ ABGDE pent£gwnon. Lšgw d», Óti kaˆ “sogènion. 'Epeˆ g¦r ¹ AB perifšreia tÍ DE perifere…v ™stˆn ‡sh, koin¾ proske…sqw ¹ BGD: Ólh ¥ra ¹ ABGD perifšreia ÓlV tÍ EDGB perifere…v ™stˆn ‡sh. Kaˆ bšbhken ™pˆ mn tÁj ABGD perifere…aj gwn…a ¹ ØpÕ AED, ™pˆ d tÁj EDGB perifere…aj gwn…a ¹ ØpÕ BAE: kaˆ ¹ ØpÕ BAE ¥ra gwn…a tÍ ØpÕ AED ™stin ‡sh. Di¦ t¦ aÙt¦ d¾ kaˆ ˜k£sth tîn ØpÕ ABG, BGD, GDE gwniîn ˜katšrv tîn ØpÕ BAE, AED ™stin ‡sh: “sogènion ¥ra ™stˆ tÕ ABGDE pent£gwnon. 'Ede…cqh d kaˆ “sÒpleuron.
E“j ¥ra tÕn doqšnta kÚklon pent£gwnon “sÒpleurÒn te kaˆ “sogènion ™ggšgraptai: Óper œdei poiÁsai.
Regelmässiges 15-Eck
PrÒblhma ij'.
E“j tÕn doqšnta kÚklon pentekaidek£gwnon “sÒpleurÒn te kaˆ “sogènion ™ggr£yai.
”Estw Ð doqeˆj kÚkloj Ð ABGD:
de‹ d¾ e“j tÕn ABGD kÚklon pentekaidek£gwnon “sÒpleurÒn te kaˆ “sogènion ™ggr£yai.
'Eggegr£fqw e“j tÕn ABGD kÚklon trigènou mn “sopleÚrou toà e“j aÙtÕn ™ggrafomšnou pleur¦ ¹ AG, pentagènou d “sopleÚrou ¹ AB: o†wn ¥ra ™stˆn Ð ABGD kÚkloj ‡swn tmhm£twn dekapšnte, toioÚtwn ¹ mn ABG perifšreia tr…ton oâsa toà kÚklou œstai pšnte, ¹ d AB perifšreia pšmpton oâsa toà kÚklou œstai triîn: loip¾ ¥ra ¹ BG tîn ‡swn dÚo. Tetm»sqw ¹ BG d…ca kat¦ tÕ E: ˜katšra ¥ra tîn BE, EG perifereiîn pentekaidškatÒn ™sti toà ABGD kÚklou.
'E¦n ¥ra ™pizeÚxantej t¦j BE, EG ‡saj aÙta‹j kat¦ tÕ sunecj eÙqe…aj ™narmÒswmen e“j tÕn ABGD[E] kÚklon, œstai e“j aÙtÕn ™ggegrammšnon pentekaidek£gwnon “sÒpleurÒn te kaˆ “sogènion: Óper œdei poiÁsai.

Arithmetik (7. Buch)
Definitionen
OROI
a'.	Mon£j ™stin, kaq' ¿n ›kaston tîn Ôntwn žn lšgetai.
b'.	'AriqmÕj d tÕ ™k mon£dwn sugke…menon plÁqoj.
g'.	Mšroj ™stˆn ¢riqmÕj ¢riqmoà Ð ™l£sswn toà me…zonoj, Ótan katametrÍ tÕn me…zona.
d'.	Mšrh dš, Ótan m¾ katametrÍ.
e'.	Pollapl£sioj d Ð me…zwn toà ™l£ssonoj, Ótan katametrÁtai ØpÕ toà ™l£ssonoj.
j'.	”Artioj ¢riqmÒj ™stin Ð d…ca diairoÚmenoj.
z'.	PerissÕj d Ð m¾ diairoÚmenoj d…ca À Ð mon£di diafšrwn ¢rt…ou ¢riqmoà.
h'.	'Arti£kij ¥rtioj ¢riqmÒj ™stin Ð ØpÕ ¢rt…ou ¢riqmoà metroÚmenoj kat¦ ¥rtion ¢riqmÒn.
q'.	'Arti£kij d perissÒj ™stin Ð ØpÕ ¢rt…ou ¢riqmoà metroÚmenoj kat¦ perissÕn ¢riqmÒn.
i'.	Periss£kij ¢rtiÒj ™stin Ð ØpÕ perissoà ¢riqmoà metroÚmenoj kat¦ ¥rtion ¢riqmÒn.
ia'.	Periss£kij d perissÒj ¢riqmÒj ™stin Ð ØpÕ perissoà ¢riqmoà metroÚmenoj kat¦ perissÕn ¢riqmÒn.
ib'.	Prîtoj ¢riqmÒj ™stin Ð mon£di mÒnV metroÚmenoj.
ig'.	Prîtoi prÕj ¢ll»louj ¢riqmo… e“sin oƒ mon£di mÒnV metroÚmenoi koinù mštrJ.
id'.	SÚnqetoj ¢riqmÒj ™stin Ð ¢riqmù tini metroÚmenoj.
ie'.	SÚnqetoi d prÕj ¢ll»louj ¢riqmo… e“sin oƒ ¢riqmù tini metroÚmenoi koinù mštrJ.
ij'.	'AriqmÕj ¢riqmÕn pollaplasi£zein lšgetai, Ótan, Ósai e“sˆn ™n aÙtù mon£dej, tosaut£kij sunteqÍ Ð pollaplasiazÒmenoj, kaˆ gšnhta… tij.
iz'.	”Otan d dÚo ¢riqmo… pollaplasi£santej ¢ll»louj poiîs… tina, Ð genÒmenoj ™p…pedoj kale‹tai, pleuraˆ d aÙtoà oƒ pollaplasi£santej ¢ll»louj ¢riqmo….
ih'.	”Otan d tre‹j ¢riqmoˆ pollaplasi£santej ¢ll»louj poiîs… tina, Ð genÒmenoj stereÒj ™stin, pleuraˆ d aÙtoà oƒ pollaplasi£santej ¢ll»louj ¢riqmo….
iq'.	Tetr£gwnoj ¢riqmÒj ™stin Ð “s£kij ‡soj À Ð ØpÕ dÚo Šswn ¢riqmîn periecÒmenoj.
k'.	KÚboj d Ð “s£kij ‡soj “s£kij À Ð ØpÕ triîn ‡swn ¢riqmîn periecÒmenoj.
ka'.	'Ariqmoˆ ¢n£logÒn e“sin, Ótan Ð prîtoj toà deutšrou kaˆ Ð tr…toj toà tet£rtou “s£kij Ï pollapl£sioj À tÕ aÙtÕ mšroj À t¦ aÙt¦ mšrh ðsin.
kb'.	”Omoioi ™p…pedoi kaˆ stereoˆ ¢riqmo… e“sin oƒ ¢n£logon œcontej t¦j pleur£j.
kg'.	Tšleioj ¢riqmÒj ™stin Ð to‹j ˜autoà mšresin ‡soj ên.
 Euklidischer Algorithmus
Qeèrhma b'.
DÚo ¢riqmîn doqšntwn m¾ prètwn prÕj ¢ll»louj tÕ mšgiston aÙtîn koinÕn mštron eØre‹n.
”Estwsan oƒ doqšntej dÚo ¢riqmoˆ m¾ prîtoi prÕj ¢ll»louj oƒ AB, GD.
De‹ d¾ tîn AB, GD tÕ mšgiston koinÕn mštron eØre‹n.
E“ mn oân Ð GD tÕn AB metre‹, metre‹ d kaˆ ˜autÒn, Ð GD ¥ra tîn GD, AB koinÕn mštron ™st…n. Kaˆ fanerÒn, Óti kaˆ mšgiston: oÙdeˆj g¦r me…zwn toà GD tÕn GD metr»sei.
E“ d oÙ metre‹ Ð GD tÕn AB, tîn AB, GD ¢nqufairoumšnou ¢eˆ toà ™l£ssonoj ¢pÕ toà me…zonoj leifq»seta… tij ¢riqmÒj, Öj metr»sei tÕn prÕ ˜autoà. Mon¦j mn g¦r oÙ leifq»setai: e“ d m», œsontai oƒ AB, GD prîtoi prÕj ¢ll»louj: Óper oÙc ØpÒkeitai. Leifq»seta… tij ¥ra ¢riqmÒj, Öj metr»sei tÕn prÕ ˜autoà. Kaˆ Ð mn GD tÕn BE metrîn leipštw ˜autoà ™l£ssona tÕn EA, Ð d EA tÕn DZ metrîn leipštw ˜autoà ™l£ssona tÕn ZG, Ð d GZ tÕn AE metre…tw. 'Epeˆ oân Ð GZ tÕn AE metre‹, Ð d AE tÕn DZ metre‹, kaˆ Ð GZ ¥ra tÕn DZ metr»sei: metre‹ d kaˆ ˜autÒn: kaˆ Ólon ¥ra tÕn GD metr»sei. `O d GD tÕn BE metre‹: kaˆ Ð GZ ¥ra tÕn BE metre‹: metre‹ d kaˆ tÕn EA: kaˆ Ólon ¥ra tÕn BA metr»sei: metre‹ d kaˆ tÕn GD: Ð GZ ¥ra toÝj AB, GD metre‹. Ð GZ ¥ra tîn AB, GD koinÕn mštron ™st…n. Lšgw d», Óti kaˆ mšgiston. E“ g¦r m» ™stin Ð GZ tîn AB, GD mšgiston koinÕn mštron, metr»sei tij toÝj AB, GD ¢riqmoÝj ¢riqmÕj me…zwn ín toà GZ. Metre…tw, kaˆ œstw Ð H. Kaˆ ™peˆ Ð H tÕn GD metre‹, Ð d GD tÕn BE metre‹, kaˆ Ð H ¥ra tÕn BE metre‹: metre‹ d kaˆ Ólon tÕn BA: kaˆ loipÕn ¥ra tÕn AE metr»sei. `O d AE tÕn DZ metre‹: kaˆ Ð H ¥ra tÕn DZ metr»sei: metre‹ d kaˆ Ólon tÕn DG: kaˆ loipÕn ¥ra tÕn GZ metr»sei Ð me…zwn tÕn ™l£jsona: Óper ™stˆn ¢dÚnaton: oÙk ¥ra toÝj AB, GD ¢riqmoÝj ¢riqmÒj tij metr»sei me…zwn ín toà GZ: Ð GZ ¥ra tîn AB, GD mšgistÒn ™sti koinÕn mštron: [Óper œdei de‹xai].
PÒrisma
'Ek d¾ toÚtou fanerÒn, Óti ™¦n ¢riqmÕj dÚo ¢riqmoÝj metrÍ, kaˆ tÕ mšgiston aÙtîn koinÕn mštron metr»sei: Óper œdei de‹xai. 

Geometrie im dreidimensionalen Raum (11. und 12. Buch)
Definitionen
OROI
a'.	StereÒn ™sti tÕ mÁkoj kaˆ pl£toj kaˆ b£qoj œcon.
b'.	Stereoà d pšraj ™pif£neia.
g'.	EÙqe‹a prÕj ™p…pedon Ñrq» ™stin, Ótan prÕj p£saj t¦j ¡ptomšnaj aÙtÁj eÙqe…aj kaˆ oÜsaj ™n tù [ØpokeimšnJ] ™pipšdJ Ñrq¦j poiÍ gwn…aj.
d'.	'Ep…pedon prÕj ™p…pedon ÑrqÒn ™stin, Ótan aƒ tÍ koinÍ tomÍ tîn ™pipšdwn prÕj Ñrq¦j ¢gÒmenai eÙqe‹ai ™n ˜nˆ tîn ™pipšdwn tù loipù ™pipšdJ prÕj Ñrq¦j ðsin.
e'.	EÙqe…aj prÕj ™p…pedon kl…sij ™st…n, Ótan ¢pÕ toà meteèrou pšratoj tÁj eÙqe…aj ™pˆ tÕ ™p…pedon k£qetoj ¢cqÍ, kaˆ ¢pÕ toà genomšnou shme…ou ™pˆ tÕ ™n tù ™pipšdJ pšraj tÁj eÙqe…aj eÙqe‹a ™pizeucqÍ, ¹ periecomšnh gwn…a ØpÕ tÁj ¢cqe…shj kaˆ tÁj ™festèshj.
j'.	'Epipšdou prÕj ™p…pedon kl…sij ™stˆn ¹ periecomšnh Ñxe‹a gwn…a ØpÕ tîn prÕj Ñrq¦j tÍ koinÍ tomÍ ¢gomšnwn prÕj tù aÙtù shme…J ™n ˜katšrJ tîn ™pipšdwn.
z'.	'Ep…pedon prÕj ™p…pedon Ðmo…wj kekl…sqai lšgetai kaˆ ›teron prÕj ›teron, Ótan aƒ e“rhmšnai tîn kl…sewn gwn…ai ‡sai ¢ll»laij ðsin.
h'.	Par£llhla ™p…ped£ ™sti t¦ ¢sÚmptwta.
q'.	”Omoia stere¦ sc»mat£ ™sti t¦ ØpÕ Ðmo…wn ™pipšdwn periecÒmena ‡swn tÕ plÁqoj.
i'.	”Isa d kaˆ Ómoia stere¦ sc»mat£ ™sti t¦ ØpÕ Ðmo…wn ™pipšdwn periecÒmena ‡swn tù pl»qei kaˆ tù megšqei.
ia'.	Stere¦ gwn…a ™stˆn ¹ ØpÕ pleiÒnwn À dÚo grammîn ¡ptomšnwn ¢ll»lwn kaˆ m¾ ™n tÍ aÙtÍ ™pifane…v oÙsîn prÕj p£saij ta‹j gramma‹j kl…sij. ”Allwj: stere¦ gwn…a ™stˆn ¹ ØpÕ pleiÒnwn À dÚo gwniîn ™pipšdwn periecomšnh m¾ oÙsîn ™n tù aÙtù ™pipšdJ prÕj ˜nˆ shme…J sunistamšnwn.
ib'.	Puram…j ™sti scÁma stereÕn ™pipšdoij periecÒmenon ¢pÕ ˜nÕj ™pipšdou prÕj ˜nˆ shme…J sunestèj.
ig'.	Pr…sma ™stˆ scÁma stereÕn ™pipšdoij periecÒmenon, ïn dÚo t¦ ¢penant…on ‡sa te kaˆ Ómoi£ ™sti kaˆ par£llhla, t¦ d loip¦ parallhlÒgramma.
id'.	Sfa‹r£ ™stin, Ótan ¹mikukl…ou menoÚshj tÁj diamštrou perienecqn tÕ ¹mikÚklion e“j tÕ aÙtÕ p£lin ¢pokatastaqÍ, Óqen ½rxato fšresqai, tÕ perilhfqn scÁma.
ie'.	”Axwn d tÁj sfa…raj ™stˆn ¹ mšnousa eÙqe‹a, perˆ ¿n tÕ ¹mikÚklion stršfetai.
ij'.	Kšntron d tÁj sfa…raj ™stˆ tÕ aÙtÒ, Ö kaˆ toà ¹mikukl…ou.
iz'.	Di£metroj d tÁj sfa…raj ™stˆn eÙqe‹£ tij di¦ toà kšntrou ºgmšnh kaˆ peratoumšnh ™f' ˜k£tera t¦ mšrh ØpÕ tÁj ™pifane…aj tÁj sfa…raj.
ih'.	KînÒj ™stin, Ótan Ñrqogwn…ou trigènou menoÚshj mi©j pleur©j tîn perˆ t¾n Ñrq¾n gwn…an perienecqn tÕ tr…gwnon e“j tÕ aÙtÕ p£lin ¢pokatastaqÍ, Óqen ½rxato fšresqai, tÕ perilhfqn scÁma. K¨n mn ¹ mšnousa eÙqe‹a ‡sh Ï tÍ loipÍ [tÍ] perˆ t¾n Ñrq¾n periferomšnV, Ñrqogènioj œstai Ð kînoj, ™¦n d ™l£ttwn, ¢mblugènioj, ™¦n d me…zwn, Ñxugènioj.
iq'.	”Axwn d toà kènou ™stˆn ¹ mšnousa eÙqe‹a, perˆ ¿n tÕ tr…gwnon stršfetai.
k'.	B£sij d Ð kÚkloj Ð ØpÕ tÁj periferomšnhj eÙqe…aj grafÒmenoj.
ka'.	KÚlindrÒj ™stin, Ótan Ñrqogwn…ou parallhlogr£mmou menoÚshj mi©j pleur©j tîn perˆ t¾n Ñrq¾n gwn…an perienecqn tÕ parallhlÒgrammon e“j tÕ aÙtÕ p£lin ¢pokatastaqÍ, Óqen ½rxato fšresqai, tÕ perilhfqn scÁma.
kb'.	”Axwn d toà kul…ndrou ™stˆn ¹ mšnousa eÙqe‹a, perˆ ¿n tÕ parallhlÒgrammon stršfetai.
kg'.	B£seij d oƒ kÚkloi oƒ ØpÕ tîn ¢penant…on periagomšnwn dÚo pleurîn grafÒmenoi.
kd'.	”Omoioi kînoi kaˆ kÚlindro… e“sin, ïn o† te ¥xonej kaˆ aƒ di£metroi tîn b£sewn ¢n£logÒn e“sin.
ke'.	KÚboj ™stˆ scÁma stereÕn ØpÕ žx tetragènwn ‡swn periecÒmenon.
kj'.	'Okt£edrÒn ™sti scÁma stereÕn ØpÕ Ñktë trigènwn ‡swn kaˆ “sopleÚrwn periecÒmenon.
kz'.	E“kos£edrÒn ™sti scÁma stereÕn ØpÕ e‡kosi trigènwn ‡swn kaˆ “sopleÚrwn periecÒmenon.
kh'.	Dwdek£edrÒn ™sti scÁma stereÕn ØpÕ dèdeka pentagènwn ‡swn kaˆ “sopleÚrwn kaˆ “sogwn…wn periecÒmenon.
Volumen der Pyramide
Qeèrhma z'.
P©n pr…sma tr…gwnon œcon b£sin diaire‹tai e“j tre‹j puram…daj ‡saj ¢ll»laij trigènouj b£seij ™coÚsaj.
”Estw pr…sma, oá b£sij mn tÕ ABG tr…gwnon, ¢penant…on d tÕ DEZ:
lšgw, Óti tÕ ABGDEZ pr…sma diaire‹tai e“j tre‹j puram…daj ‡saj ¢ll»laij trigènouj ™coÚsaj b£seij.
'EpezeÚcqwsan g¦r aƒ BD, EG, GD. 'Epeˆ parallhlÒgrammÒn ™sti tÕ ABED, di£metroj d aÙtoà ™stin ¹ BD, ‡son ¥ra ™stˆ tÕ ABD tr…gwnon tù EBD trigènJ: kaˆ ¹ puramˆj ¥ra, Âj b£sij mn tÕ ABD tr…gwnon, koruf¾ d tÕ G shme‹on, ‡sh ™stˆ puram…di, Âj b£sij mšn ™sti tÕ DEB tr…gwnon, koruf¾ d tÕ G shme‹on. 'All¦ ¹ puram…j, Âj b£sij mšn ™sti tÕ DEB tr…gwnon, koruf¾ d tÕ G shme‹on, ¹ aÙt» ™sti puram…di, Âj b£sij mšn ™sti tÕ EBG tr…gwnon, koruf¾ d tÕ D shme‹on: ØpÕ g¦r tîn aÙtîn ™pipšdwn perišcetai. Kaˆ puramˆj ¥ra, Âj b£sij mšn ™sti tÕ ABD tr…gwnon, koruf¾ d tÕ G shme‹on, ‡sh ™stˆ puram…di, Âj b£sij mšn ™sti tÕ EBG tr…gwnon, koruf¾ d tÕ D shme‹on. P£lin, ™peˆ parallhlÒgrammÒn ™sti tÕ ZGBE, di£metroj dš ™stin aÙtoà ¹ GE, ‡son ™stˆ tÕ GEZ tr…gwnon tù GBE trigènJ. Kaˆ puramˆj ¥ra, Âj b£sij mšn ™sti tÕ BGE tr…gwnon, koruf¾ d tÕ D shme‹on, ‡sh ™stˆ puram…di, Âj b£sij mšn ™sti tÕ EGZ tr…gwnon, koruf¾ d tÕ D shme‹on. `H d puram…j, Âj b£sij mšn ™sti tÕ BGE tr…gwnon, koruf¾ d tÕ D shme‹on, ‡sh ™de…cqh puram…di, Âj b£sij mšn ™sti tÕ ABD tr…gwnon, koruf¾ d tÕ G shme‹on: kaˆ puramˆj ¥ra, Âj b£sij mšn ™sti tÕ GEZ tr…gwnon, koruf¾ d tÕ D shme‹on, ‡sh ™stˆ puram…di, Âj b£sij mn [™sti] tÕ ABD tr…gwnon, koruf¾ d tÕ G shme‹on: diÇrhtai ¥ra tÕ ABGDEZ pr…sma e“j tre‹j puram…daj ‡saj ¢ll»laij trigènouj ™coÚsaj b£seij.
Kaˆ ™peˆ puram…j, Âj b£sij mšn ™sti tÕ ABD tr…gwnon, koruf¾ d tÕ G shme‹on, ¹ aÙt» ™sti puram…di, Âj b£sij tÕ GAB tr…gwnon, koruf¾ d tÕ D shme‹on: ØpÕ g¦r tîn aÙtîn ™pipšdwn perišcontai: ¹ d puram…j, Âj b£sij tÕ ABD tr…gwnon, koruf¾ d tÕ G shme‹on, tr…ton ™de…cqh toà pr…smatoj, oá b£sij tÕ ABG tr…gwnon, ¢penant…on d tÕ DEZ, kaˆ ¹ puramˆj ¥ra, Âj b£sij tÕ ABG tr…gwnon, koruf¾ d tÕ D shme‹on, tr…ton ™stˆ toà pr…smatoj toà œcontoj b£sin t¾n aÙt¾n tÕ ABG tr…gwnon, ¢penant…on d tÕ DEZ.
PÒrisma
'Ek d¾ toÚtou fanerÒn, Óti p©sa puramˆj tr…ton mšroj ™stˆ toà pr…smatoj toà t¾n aÙt¾n b£sin œcontoj aÙtÍ kaˆ Ûyoj ‡son [™peid»per k¨n ›terÒn ti scÁma eÙqÚgrammon œcV ¹ b£sij toà pr…smatoj, toioàto kaˆ tÕ ¢penant…on, kaˆ diaire‹tai e“j pr…smata tr…gwna œconta t¦j b£seij kaˆ t¦ ¢penant…on, kaˆ æj ¹ Ólh b£sij prÕj ›kaston]: Óper œdei de‹xai.
Volumen des Kegels 
Qeèrhma i'.
P©j kînoj kul…ndrou tr…ton mšroj ™stˆ toà t¾n aÙt¾n b£sin œcontoj aÙtù kaˆ Ûyoj ‡son. 
'Ecštw g¦r kînoj kul…ndrJ b£sin te t¾n aÙt¾n tÕn ABGD kÚklon kaˆ Ûyoj ‡son:
lšgw, Óti Ð kînoj toà kul…ndrou tr…ton ™stˆ mšroj, toutšstin Óti Ð kÚlindroj toà kènou triplas…wn ™st…n.
E“ g¦r m» ™stin Ð kÚlindroj toà kènou triplas…wn, œstai Ð kÚlindroj toà kènou ½toi me…zwn À triplas…wn À ™l£sswn À triplas…wn. ”Estw prÒteron me…zwn À triplas…wn, kaˆ ™ggegr£fqw e“j tÕn ABGD kÚklon tetr£gwnon tÕ ABGD: tÕ d¾ ABGD tetr£gwnon me‹zÒn ™stin À tÕ ¼misu toà ABGD kÚklou. Kaˆ ¢nest£tw ¢pÕ toà ABGD tetragènou pr…sma “soãyj tù kul…ndrJ. tÕ d¾ ¢nist£menon pr…sma me‹zÒn ™stin À tÕ ¼misu toà kul…ndrou, ™peid»per k¨n perˆ tÕn ABGD kÚklon tetr£gwnon perigr£ywmen, tÕ ™ggegrammšnon e“j tÕn ABGD kÚklon tetr£gwnon ¼misÚ ™sti toà perigegrammšnou: ka… ™sti t¦ ¢p' aÙtîn ¢nist£mena stere¦ parallhlep…peda pr…smata “soãyÁ: t¦ d ØpÕ tÕ aÙtÕ Ûyoj Ônta stere¦ parallhlep…peda prÕj ¥llhl£ ™stin æj aƒ b£seij: kaˆ tÕ ™pˆ toà ABGD ¥ra tetragènou ¢nastaqn pr…sma ¼misÚ ™sti toà ¢nastaqšntoj pr…smatoj ¢pÕ toà perˆ tÕn ABGD kÚklon perigrafšntoj tetragènou: ka… ™stin Ð kÚlindroj ™l£ttwn toà pr…smatoj toà ¢nastaqšntoj ¢pÕ toà perˆ tÕn ABGD kÚklon perigrafšntoj tetragènou: tÕ ¥ra pr…sma tÕ ¢nastaqn ¢pÕ toà ABGD tetragènou “soãyj tù kul…ndrJ me‹zÒn ™sti toà ¹m…sewj toà kul…ndrou. Tetm»sqwsan aƒ AB, BG, GD, DA perifšreiai d…ca kat¦ t¦ E, Z, H, Q shme‹a, kaˆ ™pezeÚcqwsan aƒ AE, EB, BZ, ZG, GH, HD, DQ, QA: kaˆ ›kaston ¥ra tîn AEB, BZG, GHD, DQA trigènwn me‹zÒn ™stin À tÕ ¼misu toà kaq' ˜autÕ tm»matoj toà ABGD kÚklou, æj œmprosqen ™de…knumen. 'Anest£tw ™f' ˜k£stou tîn AEB, BZG, GHD, DQA trigènwn pr…smata “souyÁ tù kul…ndrJ: kaˆ ›kaston ¥ra tîn ¢nastaqšntwn prism£twn me‹zÒn ™stin À tÕ ¼misu mšroj toà kaq' ˜autÕ tm»matoj toà kul…ndrou, ™peid»per ™¦n di¦ tîn E, Z, H, Q shme…wn parall»louj ta‹j AB, BG, GD, DA ¢g£gwmen, kaˆ sumplhrèswmen t¦ ™pˆ tîn AB, BG, GD, DA parallhlÒgramma, kaˆ ¢p' aÙtîn ¢nast»swmen stere¦ parallhlep…peda “soãyÁ tù kul…ndrJ, ˜k£stou tîn ¢nastaqšntwn ¹m…sh ™stˆ t¦ pr…smata t¦ ™pˆ tîn AEB, BZG, GHD, DQA trigènwn: ka… ™sti t¦ toà kul…ndrou tm»mata ™l£ttona tîn ¢nastaqšntwn stereîn parallhlepipšdwn: éste kaˆ t¦ ™pˆ tîn AEB, BZG, GHD, DQA trigènwn pr…smata me…zon£ ™stin À tÕ ¼misu tîn kaq' ˜aut¦ toà kul…ndrou tmhm£twn. Tšmnontej d¾ t¦j Øpoleipomšnaj perifere…aj d…ca kaˆ ™pizeugnÚntej eÙqe…aj kaˆ ¢nist£ntej ™f' ˜k£stou tîn trigènwn pr…smata “soãyÁ tù kul…ndrJ kaˆ toàto ¢eˆ poioàntej katale…yomšn tina ¢potm»mata toà kul…ndrou, § œstai ™l£ttona tÁj ØperocÁj, Î Øperšcei Ð kÚlindroj toà triplas…ou toà kènou. Lele…fqw, kaˆ œstw t¦ AE, EB, BZ, ZG, GH, HD, DQ, QA: loipÕn ¥ra tÕ pr…sma, oá b£sij mn tÕ AEBZ GHDQ polÚgwnon, Ûyoj d tÕ aÙtÕ tù kul…ndrJ, me‹zÒn ™stin À tripl£sion toà kènou. 'All¦ tÕ pr…sma, oá b£sij mšn ™sti tÕ AEBZGHDQ polÚgwnon, Ûyoj d tÕ aÙtÕ tù kul…ndrJ, tripl£siÒn ™sti tÁj puram…doj, Âj b£sij mšn ™sti tÕ AEBZGHDQ polÚgwnon, koruf¾ d ¹ aÙt¾ tù kènJ: kaˆ ¹ puramˆj ¥ra, Âj b£sij mn [™sti] tÕ AEBZGHDQ polÚgwnon, koruf¾ d ¹ aÙt¾ tù kènJ, me…zwn ™stˆ toà kènou toà b£sin œcontoj tÕn ABGD kÚklon. 'All¦ kaˆ ™l£ttwn: ™mperišcetai g¦r Øp' aÙtoà: Óper ™stˆn ¢dÚnaton. OÙk ¥ra ™stˆn Ð kÚlindroj toà kènou me…zwn À tripl£sioj.
Lšgw d», Óti oÙd ™l£ttwn ™stˆn À tripl£sioj Ð kÚlindroj toà kènou.
E“ g¦r dunatÒn, œstw ™l£ttwn À tripl£sioj Ð kÚlindroj toà kènou: ¢n£palin ¥ra Ð kînoj toà kul…ndrou me…zwn ™stˆn À tr…ton mšroj. 'Eggegr£fqw d¾ e“j tÕn ABGD kÚklon tetr£gwnon tÕ ABGD: tÕ ABGD ¥ra tetr£gwnon me‹zÒn ™stin À tÕ ¼misu toà ABGD kÚklou. Kaˆ ¢nest£tw ¢pÕ toà ABGD tetragènou puramˆj t¾n aÙt¾n koruf¾n œcousa tù kènJ: ¹ ¥ra ¢nastaqe‹sa puramˆj me…zwn ™stˆn À tÕ ¼misu mšroj toà kènou, ™peid»per, æj œmprosqen ™de…knumen, Óti ™¦n perˆ tÕn kÚklon tetr£gwnon perigr£ywmen, œstai tÕ ABGD tetr£gwnon ¼misu toà perˆ tÕn kÚklon perigegrammšnou tetragènou: kaˆ ™¦n ¢pÕ tîn tetragènwn stere¦ parallhlep…peda ¢nast»swmen “soãyÁ tù kènJ, § kaˆ kale‹tai pr…smata, œstai tÕ ¢nastaqn ¢pÕ toà ABGD tetragènou ¼misu toà ¢nastaqšntoj ¢pÕ toà perˆ tÕn kÚklon perigrafšntoj tetragènou: prÕj ¥llhla g£r e“sin æj aƒ b£seij. éste kaˆ t¦ tr…ta: kaˆ puramˆj ¥ra, Âj b£sij tÕ ABGD tetr£gwnon, ¼misÚ ™sti tÁj puram…doj tÁj ¢nastaqe…shj ¢pÕ toà perˆ tÕn kÚklon perigrafšntoj tetragènou. Ka… ™sti me…zwn ¹ puramˆj ¹ ¢nastaqe‹sa ¢pÕ toà perˆ tÕn kÚklon tetragènou toà kènou: ™mperišcei g¦r aÙtÒn. `H ¥ra puramˆj, Âj b£sij tÕ ABGD tetr£gwnon, koruf¾ d ¹ aÙt¾ tù kènJ, me…zwn ™stˆn À tÕ ¼misu toà kènou. Tetm»sqwsan aƒ AB, BG, GD, DA perifšreiai d…ca kat¦ t¦ E, Z, H, Q shme‹a, kaˆ ™pezeÚcqwsan aƒ AE, EB, BZ, ZG, GH, HD, DQ, QA: kaˆ ›kaston ¥ra tîn AEB, BZG, GHD, DQA trigènwn me‹zÒn ™stin À tÕ ¼misu mšroj toà kaq' ˜autÕ tm»matoj toà ABGD kÚklou. Kaˆ ¢nest£twsan ™f' ˜k£stou tîn AEB, BZG, GHD, DQA trigènwn puram…dej t¾n aÙt¾n koruf¾n œcousai tù kènJ: kaˆ ˜k£sth ¥ra tîn ¢nastaqeisîn puram…dwn kat¦ tÕn aÙtÕn trÒpon me…zwn ™stˆn À tÕ ¼misu mšroj toà kaq' ˜aut¾n tm»matoj toà kènou. Tšmnontej d¾ t¦j Øpoleipomšnaj perifere…aj d…ca kaˆ ™pizeugnÚntej eÙqe…aj kaˆ ¢nist£ntej ™f' ˜k£stou tîn trigènwn puram…da t¾n aÙt¾n koruf¾n œcousan tù kènJ kaˆ toàto ¢eˆ poioàntej katale…yomšn tina ¢potm»mata toà kènou, § œstai ™l£ttona tÁj ØperocÁj, Î Øperšcei Ð kînoj toà tr…tou mšrouj toà kul…ndrou. Lele…fqw, kaˆ œstw t¦ ™pˆ tîn AE, EB, BZ, ZG, GH, HD, DQ, QA: loip¾ ¥ra ¹ puram…j, Âj b£sij mšn ™sti tÕ AEBZGHDQ polÚgwnon, koruf¾ d ¹ aÙt¾ tù kènJ, me…zwn ™stˆn À tr…ton mšroj toà kul…ndrou. 'All' ¹ puram…j, Âj b£sij mšn ™sti tÕ AEBZG HDQ polÚgwnon, koruf¾ d ¹ aÙt¾ tù kènJ, tr…ton ™stˆ mšroj toà pr…smatoj, oá b£sij mšn ™sti tÕ AEBZGHDQ polÚgwnon, Ûyoj d tÕ aÙtÕ tù kul…ndrJ: tÕ ¥ra pr…sma, oá b£sij mšn ™sti tÕ AEBZGHDQ polÚgwnon, Ûyoj d tÕ aÙtÕ tù kul…ndrJ, me‹zÒn ™sti toà kul…ndrou, oá b£sij ™stˆn Ð ABGD kÚkloj. ¢ll¦ kaˆ œlatton: ™mperišcetai g¦r Øp' aÙtoà: Óper ™stˆn ¢dÚnaton. OÙk ¥ra Ð kÚlindroj toà kènou ™l£ttwn ™stˆn À tripl£sioj. 'Ede…cqh dš, Óti oÙd me…zwn À tripl£sioj: tripl£sioj ¥ra Ð kÚlindroj toà kènou: éste Ð kînoj tr…ton ™stˆ mšroj toà kul…ndrou.
P©j ¥ra kînoj kul…ndrou tr…ton mšroj ™stˆ toà t¾n aÙt¾n b£sin œcontoj aÙtù kaˆ Ûyoj ‡son: Óper œdei de‹xai. 

Wörter
Vorbemerkung
Mit (+) gekennzeichnete Wörter können vom Schüler selbständig erschlossen werden, solche mit (*) kommen häufig vor und sollten daher zum Lernvokabular gehören.
Wörter in Anführungszeichen (””) sind Lehnübersetzungen.
Proklos
t¦ stoice‹a	die Elemente	
sun£gw	verfassen	
sunt£ssw	ordnen	
teleÒw	vollenden	
malakÒj	nachlässig	
to‹j œmprosqen	Dat. auctoris	
¢nšlegktoj	unwiderlegbar	
™pibalèn	darauf	
sÚntomoj	kurz	
¹ ¢trapÒj	Weg	
¹ proa…resij	wissenschaftliche Richtung, Gesinnung	
tšloj pro…sthmi	als Ziel festlegen	
¹ sÚstasij	Konstruktion	
mestÒj tinoj	voll von	
t¦ katoptrik£	Bücher über die Theorie des Spiegels	
diaferÒntwj	besonders	
¥gamai	bewundern	
¹ ™klog»	Auswahl	
Geometrie (1. Buch)
Definitionen
a'	tÕ shme‹on	Punkt (+)	
	tÕ mšroj	Teil (*)	
	oÙqšn	= oÙdšn	
b'	¹ gramm»	Linie (*)	
	¢-plat»j, šj	ohne Breite	
	tÕ mÁkoj	Ausdehnung, Breite (*)	
g'	tÕ pšraj	Ende (*)	
d'	eÙqe‹a gramm»	Gerade (+)	
	™x ‡sou tin…	in gleicher Weise in bezug auf etw.	
e'	¹ ™pif£neia	Fläche (+)	
	tÕ pl£toj	Breite	
z'.	™p…pedoj, on	eben (*)	
	™p…pedoj ™pif£neia	Ebene (+)	
h'.	¹ gwn…a	Winkel (+)	
	¤ptoma… tinoj	sich berühren, sich schneiden (*)	
	™p' eÙqe…aj	in der Verlängerung	
q'.	eÙqÚgrammoj, on	”geradlinig”	
i'.	™fexÁj	aufeinander folgend (*)	
	Ñrq¾ gwn…a	”rechter Winkel” (+)	
	k£qetoj	< kaq…hmi; ”Kathete”	
ia'.	¢mblÚj, e‹a, Ú	”stumpf” (+)	
ib'.	ÑxÚj, e‹a, Ú	”spitz” (+)	
ig'.	tÕ Óroj	Begrenzung	
id'.	tÕ scÁma, atoj	Figur (+)	
ie'.	Ð kÚkloj	Kreis (+)	
	¹ perifšreia	”Peripherie” (+)	
ij'	tÕ kšntron	Mittelpunkt, ”Zentrum” (+)	
iz'.	¹ di£metroj	”Durchmesser” (+)	
	eÙqe‹an ¥gw	eine Linie ”ziehen” (*)	
ih'.	tÕ ¹mikÚklion	Halbkreis (+)	
iq'.	tr…pleuroj, on	”dreiseitig” (+)	
k'.	“sÒpleuroj, on	”gleichseitig” (+)	
	“soskel»j, ej	”gleichschenklig” (+)	
	skalhnÒj, on	schief	
ka'.	Ñrqogènioj, on	”rechtwinklig” (+)	
	¢mblugènioj, on	”stumpfwinklig” (+)	
	Ñxugènioj, on	”spitzwinklig” (+)	
kb'.	tÕ tetr£gwnon	Quadrat (+)	
	tÕ ˜terÒmhkej	Rechteck (+)	
	Ð ·Òmboj	”Rhombus” (+)	
	tÕ ·omboeidšj	Parallelogramm (+)	
	¢penant…on	gegenüberliegend	
	tÕ trapšzion	Viereck	
kg'.	par£llhloj, on	”parallel” (+)	
	™kb£llw	verlängern (*)	
	sump…ptw	zusammenfallen	
Postulate
a'.	kat¦ tÕ sunecšj	unaufhörlich	
g'.	tÕ di£sthma	Abstand, Radius (*)	
Axiome
e'.	dipl£sioj, on	doppelt (+)	
z'.	t¦ ™farmÒzonta ™p' ¥llhla	kongruierend	
q'.	tÕ cwr…on	Fläche	
Beweisschema
Problema a'
doqe…j, qe‹sa, qšn	”gegeben” (+)	
sun…sthmi	konstruieren (*)	
tšmnw kat£ ti	in etw. ”schneiden” (+)	
™pizeÚgnumi	eine Verbindungslinie ziehen (*)	
Problema b'
prÕj shme…J	in einem Punkt (*)	
Problema d'
Øpote…nw (ØpÒ) ti	einem Winkel gegenüberliegen (*) (vgl. ”Hypotenuse”)	
ØpÒ ABG	Winkel ABG	
™farmÒttw	auf etw. fallen, kongruieren	
Satz von Pythagoras
Proklos p. 426, 6 – 9
¢napšmpw	zurückführen	
bouqutšw	Rinder opfern	
Theorema mz'
tÕ ¢pÕ pleur©j tetr£gwnon	das von einer Seite aufgespannte Quadrat, das Quadrat über einer Seite	
¢nagr£fw	konstruieren	
Theorema mh'
ØpÒkeitai	es wurde vorausgesetzt	
Geometrie (2. Buch)
Fehlende Algebra…
Definitionen
b'.	¹ di£metroj	Diagonale (*)	
	Ðpoionoàj, oàn	jeder beliebige	
	tÕ parapl»rwma	Ergänzungsparallelogramm	
	Ð gnèmwn	”Gnomon”	
Theorema e'
tÕ tmÁma	Schnitt (+)	
metaxÚ tinoj	zwischen	
¢nagr£fw	konstruieren	
Zu beliebigem Viereck flächengleiches Quadrat
Problema me'
‡soj, h, on	flächengleich (*)	
parab£llw	danebenlegen	
aƒ ™nall¦x gwn…ai	Gegenwinkel	
Konstruktion der regelmässigen n-Ecke (4. Buch)
Regelmässiges 5-Eck
Problema i'
™narmÒttw	hineinpassen, als Sehne hineinlegen	
perigr£fw	”umschreiben” (+)	
™f£ptoma… tinoj	berühren	
¹ ™paf»	Berührpunkt	
di£gomai	sich erstrecken	
tÍ ™n tù ™nall¦x toà kÚklou	gemeint: Peripheriewinkel	
Problema ia'
™ggr£fw	einbeschreiben (+)	
bšbhka	sich befinden	
Regelmässiges 15-Eck
™narmÒttw	hineinpassen, als Sehne hineinlegen	
Arithmetik (7. Buch)
Definitionen
a'.	¹ mon£j	Einheit, Einer (*)	
g'.	tÕ mšroj	Teiler (+)	
	katametršw	ausmessen, teilen (*)	
d'.	t¦ mšrh	Teile, Nichtteiler	
e'.	pollapl£sioj, a, on	Vielfaches (+)	
j'.	¥rtioj	gerade (*)	
	d…ca diairšw	halbieren	
z'.	perissÒj, », Òn	überzählig, ungerade (*)	
h'.	¢rti£kij	gerademal	
	metršw kat£ ti	teilen mit	
i'.	periss£kij	ungerademal	
ib'.	prîtoj, h, on	”Primzahl” (lat. primus) (+)	
ig'.	prîtoi, ai, a	teilerfremd	
id'.	sÚnqetoj, h, on	zusammengesetzt, nicht prim	
ie'.	sÚnqetoi, ai, a	nicht teilerfremd	
ij'.	pollaplasi£zw	vervielfachen (*)	
iz'.	™p…pedoj, h, on	eben, flach; ebenes Produkt	
	¹ pleàra	Seite, Faktor	
ih'.	stereÒj, £, Òn	fest; räumliches Produkt	
iq'.	tetr£gwnoj ¢riqmÒj	”Quadrat” (+)	
	‡soj “s£kij	mit sich selbst potenziert	
k'.	Ð kÚboj	”Kubik”zahl	
ka'.	¢n£logoj	proportional (+)	
kg'.	tšleioj, a, on	vollkommen	
Euklidischer Algorithmus
tÕ mšgiston koinÕn mštron	ggT	
¢nqufairšw	gegenseitig abziehen	
Geometrie im dreidimensionalen Raum (11. und 12. Buch)
Definitionen
a'.	stereÒj, £, Òn	fest, räumlich (+)	
b'.	¹ ™pif£neia	Fläche	
g'.	¤ptomai	berühren, schneiden	
e'.	¹ kl…sij	Neigungs(winkel)	
	metšwroj, a, on	in der Höhe befindlich	
	Ð k£qetoj	Lot	
	™f…stamai	darüberstehen	
h'.	¢sÚmptwtoj, h, on	nicht zusammenfallend (”Asymptote”)	
q'.	Ómoioj, a, on	gleich (aussehend) (*)	
i'.	‡soj, h, on	volumengleich (*)	
id'.	¹ sfa‹ra	Kugel (+)	
	¢pokaq…sthmi	wieder in die alte Lage setzen (*)	
ie'.	Ð ¥xwn, onoj	Drehachse	
ih'.	Ð kînoj	Kegel, ”Konus” (+)	
Volumen der Pyramide
¹ koruf»	Spitze	
‡soj, h, on	volumengleich	
™peid»per	weil ja doch	
Volumen des Kegels
“soãy»j, ej tin…	die gleiche Höhe habend wie	
tÕ parallhlep…pedon	”Parallelflach”, Spat	
tÕ tmÁma	Segment	
¹ Øperoc»	Differenz	
™mperišcomai	enthalten werden	

Kommentar
Geometrie (1. Buch)
Definitionen
a'.	Punkt
b'.	Linie
g'.	Begrenzung der Linie: keine neue Definition, sondern Verknüpfung zwischen a'. und b'.
d'.	Gerade, Strecke; sprachlich schwierig und auch umstritten: ™x ‡sou bedeutet grundsätzlich ”in gleicher Weise”, doch wohin gehört der Dativ to‹j ™f' ˜autÁj shme…oij? Am besten wohl doch zu ke‹tai (”Eine Gerade ist eine Linie, die in gleicher Weise für alle Punkte auf ihr liegt.”) Sinn der Definition: Eine Gerade ist in allen Punkten gleich, kein Punkt ist durch Asymmetrie hervorgehoben.	
Moderne Definition: Eine Gerade ist die kürzeste Verbindung zwischen 2 Punkten.
e'.	Fläche
j'.	Begrenzung der Fläche: keine neue Definition, sondern Verknüpfung zwischen e'. und b'. (Bemerkung: für Euklid ist also eine Kugel keine Fläche)
z'.	Ebene; vgl. d'.
h'.	Winkel zwischen beliebigen Kurven
q'.	Winkel;Winkel werden heute nur noch mit Geraden (bei Kurven mit Tangenten) definiert.
i'.	Rechter Winkel: Die Existenz von rechten Winkel in Problema I, 11 bewiesen.
ia'.	StumpferWinkel
ib'.	Spitzer Winkel
ig'.	Begrenzung: pšraj = Óroj
id'.	Figur: Geraden und Winkel sind ausgeschlossen (anders Platon).
ie'.	Kreis: als Punktmenge definiert: k = {P | MP = r}
ij'.	Mittelpunkt
iz'.	Durchmesser
ih'.	Halbkreis
iq'.	Vielecke
k'.	Dreiecke
ka'.	Winkel in Dreiecken
kb'.	Vierecke; Begriff ”Parallelogramm”, der später immer wieder gebraucht wird, fällt hier nicht, da die Eigenschaft ”parallel” noch nicht definiert wurde.
kg'.	Parallelen
Postulate
a'.	hier nur die Existenz, die Eindeutigkeit folgt aus Axiom 9
b'.	Verlängerung einer Strecke
g'.	Existenz eines Kreises
d'.	Rechte Winkel als Invariante.
e'.	sog. ”Parallelenaxiom”, viele vergebliche Versuche, dieses Postulat als Theorem zu beweisen (Ptolemaios, Proklos; bis in die Neuzeit)
Axiome
a'.	Transitivität der Gleichheit (a = c und b = c Þ a = b)
b'.	a = c, b = d Þ a + b = c + d
g'.	a = c, b = d Þ a - b = c - d
d'.	a ­ c, b = d Þ a + b ­ c + d
e'.	a = b Þ 2 · a = 2 · b
j'.	a = b Þ 0.5 · a = 0.5 · b
z'.	Kongruentes ist gleich (flächen-)
h'.	Ganzes > Teil
q'.	Keine Fläche zwischen zwei Geraden. Dies trifft nur für die Euklidische Geometrie (die ”normale” Geometrie) zu, in der sphärischen Geometrie (= Geometrie auf der Kugel) umschliessen zwei Geraden, die nicht gleich sind, immer eine Fläche (nämlich die Fläche zwischen zwei Grosskreisen).
Beweisschema
Allgemein (das Fettgedruckte ist immer vorhanden)
i)	prÒtasij: allgemeine Behauptung
ii)	œkqesij: Bezeichnung der gegebenen und der gesuchten Teile
iii)	diorismÒj: Behauptung mit den bezeichneten Teilen formuliert (Problema: de‹; Theorema: lšgw, Óti)
iv)	kataskeu»: Konstruktion des Gesuchten oder von Hilfslinien oder -punkten
v)	¢pÒdeixij: Beweis
vi)	sumpšrasma: Folgerung (= Behauptung)
Problema a'
Konstruktion eines gleichseitigen Dreieckes
i)	'Epˆ tÁj doqe…shj eÙqe…aj peperasmšnhj tr…gwnon “sÒpleuron sust»sasqai.
ii)	”Estw ¹ doqe‹sa eÙqe‹a peperasmšnh ¹ AB.
iii)	De‹ d¾ ™pˆ tÁj AB eÙqe…aj tr…gwnon “sÒpleuron sust»sasqai.
iv)	KšntrJ mn tù A diast»mati d tù AB kÚkloj gegr£fqw Ð BGD, kaˆ p£lin kšntrJ mn tù B diast»mati d tù BA kÚkloj gegr£fqw Ð AGE, kaˆ ¢pÕ toà G shme…ou, kaq' Ön tšmnousin ¢ll»louj oƒ kÚkloi, ™pˆ t¦ A, B shme‹a ™pezeÚcqwsan eÙqe‹ai aƒ GA, GB.
v)	Kaˆ ™peˆ tÕ A shme‹on kšntron ™stˆ toà GDB kÚklou, ‡sh ™stˆn ¹ AG tÍ AB: p£lin, ™peˆ tÕ B shme‹on kšntron ™stˆ toà GAE kÚklou, ‡sh ™stˆn ¹ BG tÍ BA. 'Ede…cqh d kaˆ ¹ GA tÍ AB ‡sh: ˜katšra ¥ra tîn GA, GB tÍ AB ™stˆn ‡sh. T¦ d tù aÙtù ‡sa kaˆ ¢ll»loij ™stˆn ‡sa: kaˆ ¹ GA ¥ra tÍ GB ™stˆn ‡sh: aƒ tre‹j ¥ra aƒ GA, AB, BG ‡sai ¢ll»laij e“s…n.
vi)	'IsÒpleuron ¥ra ™stˆ tÕ ABG tr…gwnon, kaˆ sunšstatai ™pˆ tÁj doqe…shj eÙqe…aj peperasmšnhj tÁj AB.
i)	'Epˆ tÁj doqe…shj ¥ra eÙqe…aj peperasmšnhj tr…gwnon “sÒpleuron sunšstatai: Óper œdei poiÁsai.
Problematisch: Existenz und Eindeutigkeit von G ist nirgendwo vorausgesetzt!
Problema b'
Gegebene Gerade in einen gegebenen Punkt verschieben.
Problema g'
Kleinere Linie von einer grösseren abziehen.
Theorema d'
sws, indirekter Beweis
Satz von Pythagoras
Proklos p. 426, 6 – 9
”Wenn wir auf diejenigen hören, die das Alte erforschen wollen, können wir solche finden, die dieses Theorem auf Pythagoras zurückführen und die sagen, dass er bei der Entdeckung einen Stier geopfert habe.”
Pythagoras soll also einen Stier geopfert haben für die Entdeckung (und den Beweis?) dieses Satzes.
Proklos spricht im folgenden seine Bewunderung auch für Euklid aus.
Theorema mz'
Voraussetzung für den Beweis: Scherung (Theorema ma')
Satz stammt sicher von Pythagoras, dieser wird ihn jedoch vom Orient her übernommen haben; zusammen mit dem Satz kommt natürlich auch die Existenz des Irrationalen (insbes. von r(2)) in den Bereich der Griechen.
Theorema mh'
Umkehrung des Satzes von Pythagoras
Geometrie (2. Buch)
Fehlende Algebra
Definitionen
Gnomon, vgl. Abbildung
”Gnomon” bezeichnete ursprünglich ein Instrument mit rechtem Winkel (zur Messung der Tageszeit mit der Sonnenuhr oder zur Konstruktion eines rechten Winkels). Die Bezeichnung wurde erst später auf Quadrate und Parallelogramme übertragen.
Theorema e'
ab + (f(a + b,2) - b)sup5(2) = (f(a + b,2))sup5(2)
Zu beliebigem Viereck flächengleiches Quadrat
Problema me'
Flächengleiches Parallelogramm zu gegebenem Viereck
Voraussetzung für den Beweis: Scherung (Theorema ma')
Problema id'
Höhepunkt der Flächenumwandlungen
Konstruktion der regelmässigen n-Ecke (4. Buch)
Regelmässiges 5-Eck
Problema i'
Vorausgesetzt: goldener Schnitt (2, 11), Sekanten-Tangenten-Satz (3, 36; 3, 37)
Problema ia'
Zweiteilung: gleichseitig und gleiche Winkel (wobei das 2. eigentlich direkt aus dem ersten folgen würde)
Regelmässiges 15-Eck
Die Rückführung der Konstruktion des regelmässigen 15-Eckes auf diejenige des regelmässigen 3‑Eckes und des 5-Eckes kommt nicht von ungefähr: Ein Satz der höheren Mathematik besagt, dass nur regelmässige n‑Ecke der Form n = 2sup5(m) · psdo3(1) · … · psdo3(k) konstruiert werden können, wobei psdo3(i) eine sogenannte Fermatsche Primzahl ist (d.h. psdo3(i) = 2sup5(2sup2(l)) + 1; bisher bekannt: 3, 5, 17, 257, 65537). Die Konstruktion des regelmässigen 17‑Eckes wurde erst durch Gauss entdeckt, die Berechnungen zur Konstruktion des 257‑Eckes füllen einen ganzen Koffer (in der Neuzeit durchgeführt).
Arithmetik (7. Buch)
Definitionen
a'.	Einheit
b'.	Zahl
g'.	Teil, Teiler
d'.	Nichtteiler: jedes Vielfache ist nur ein Teil des Ganzen, jedoch nie das Ganze selbst (so nur bei Euklid)
e'.	Vielfaches
j'.	Gerade Zahl
z'.	Ungerade Zahl
h'.	Gerademal gerade Zahl: Definition auch für Euklid nicht ganz klar: denn 2 Möglichkeiten denkbar:	
a)	Produkt allein von geraden Zahlen (dann also von der Form 2sup5(n))	
	(so in Theorema IX, 32)	
b)	Produkt von mind. 2 geraden Zahlen (z.B. 24 = 4 · 6 = 3 · 8)	
	(so in Theorema IX, 34)
q'.	Gerademal ungerade Zahl
i'.	Ungerademal gerade Zahl: kein Unterschied zu q'. (daher wohl interpoliert)
ia'.	Ungerademal ungerade Zahl
ib'.	Primzahl: folgende 2 Möglichkeiten für den Namen:
	a)	Die Primzahl entsteht nur aus dem Zusammensetzen von Einern (und nicht von anderen Zahlen)	
(prîtoj ”nicht zusammengesetzt”)
	b)	Die Primzahl kommt als erste Zahl in ihrer Primfaktorzerlegung vor.
ig'.	Teilerfremde Zahlen
id'.	Zusammengesetzte Zahl
ie'.	Nichtteilerfremde Zahlen
ij'.	Multiplikation
iz'.	Geometrische Auffassung der Multiplikation von 2 Zahlen
ih'.	Geometrische Auffassung der Multiplikation von 3 Zahlen
iq'.	Quadrat einer Zahl
k'.	Kubikzahlen
ka'.	Proportionalität
kb'.	Ähnliche Figuren und Körper
kg'.	Vollkommene Zahl: Zahl = Summe ihrer Teiler (6 = 1 + 2 + 3; 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14)
Euklidischer Algorithmus
Beweis in 2 Teilen: a) Existenz, b) Eindeutigkeit (lšgw d», Óti kaˆ mšgistion)
problematisch: ”Pünktchenbeweis” (korrekt: vollständige Induktion)
Die Bezeichnung ”Algorithmus” stammt übrigens aus dem Arabischen.
Beispiel: 46, 10 (”n | m” heisst ”m ist durch n teilbar”)	
46 - 4 · 10 = 6, 6 o(|,-) 10	
10 - 6 = 4, 4 o(|,-) 6	
6 - 4 = 2, 2 | 4	
ggt (46, 10) = 2
Geometrie im dreidimensionalen Raum (11. und 12. Buch)
Definitionen
a'.	Räumlich, Körper
b'.	Begrenzung des Körpers: keine neue Definition, sondern Verknüpfung zwischen a'. und Definition I, e'.
g'.	Rechter Winkel zwischen Gerade und Ebene
d'.	Rechter Winkel zwischen zwei Ebenen
e'.	Winkel zwischen Gerade und Ebene
j'.	Winkel zwischen 2 Ebenen
z'.	Gleiche Neigung zwischen Ebenen
h'.	Parallele Ebenen: vgl. dazu die genauere Definition I, kg'
q'.	Ähnliche Körper
i'.	Volumengleiche Körper (wohl besteht der Unterschied zwischen q' und i' darin)
ia'.	Dreidimensionaler Winkel
ib'.	Pyramide
ig'.	Prisma
id'.	Kugel: keine eigentliche Definition (vgl. Definition I, ie'), sondern eher eine Konstruktionsvorschrift (wie auch beim Kegel und beim Zylinder)
ie'.	Drehachse der Kugel: diese ist natürlich nicht ausgezeichnet, jeder Durchmesser kann eine Drehachse sein
ij'.	Mittelpunkt der Kugel
iz'.	Durchmesser der Kugel
ih'.	Kegel: die Unterteilung in verschiedene Untergruppen abhängig vom Öffnungswinkel wird im weiteren Verlauf des Werkes nicht mehr benötigt, sie daher wohl ein Relikt aus Euklid’s Vorbild
iq'.	Drehachse des Kegels
k'.	Grundfläche des Kegels
ka'.	Zylinder
kb'.	Drehachse des Zylinders
kg'.	Grund- und Deckfläche des Zylinders
kd'.	Ähnlichkeit von Zylindern und Kegeln: bemerkenswert ist das Fehlen der Volumengleichheit (vgl. Definition i')
ke'.	Würfel
kj'.	Oktaeder
kz'.	Ikosaeder
kh'.	Dodekaeder (interessanterweise fehlt das Tetraeder)
Volumen der Pyramide
Im Porisma Verallgemeinerung auf Prismata mit allgemeinen Grundflächen.
Volumen des Kegels
Der Beweis ist in zwei Teile geteilt:
i)	Zylindervolumen > 3 · Kegelvolumen
ii)	Zylindervolumen < 3 · Kegelvolumen
problematisch: ”Pünktchenbeweis” (wenn auch die eigentliche Idee gleichbleiben würde)

Skizzen
Vorbemerkung
Diese Skizzen sind unabdingbar für das Verständnis der behandelten Sätze. Daher muss man sie auch den Schülern abgeben oder während (besser vor) der Übersetzung zeichnen.
Problema 1, a'
 
Problema I, b'

Problema I, g'
 
Theorema I, mz'
 
Theorema I, mh'
 
Definitio II, b'
 
Theorema II, e'
 
 Theorema I, me'

Problema II, id'
 
Problema IV, i'

 Problema IV, i'

Problema IV, ia'
 
Problema IV, ij'
 
Theorema VII, b'
 
Theorema XII, z'
 
Theorema XII, i'

Bibliographie
Text
E.S. Stamatis, Euclides Elementa I – XIII (4 Bde), Leipzig sup5(2)1969
Kommentar
T. L. Heath, Euclid’s Elements, translated with introduction and commentary, Cambridge 1926