EÙkle…dhj
Stoice‹a

Einige Einblicke auf der Grundlage 
der kommentierten Auswahl von Lucius Hartmann
Zusammenstellung: Theo Wirth

Inhalt

Biographie und Werke Euklids	 3

"Stoicheia" (Elemente): Vorbemerkungen, Auswahl, Begründung	4

	Texte und Kommentar: Geometrie (1. Buch)	 4 – 10

	Wörter : Geometrie (1. Buch)	 11 – 13

	Skizzen : Geometrie (1. Buch)	14 

Biographie und Werke Euklids

Biographie
•	Kleiner Pauly s.v. "Eukleides", Auszug: "E. wurde durch sein Werk Stoice‹a zum Mathematiklehrer aller Völker und Generationen bis heute. Schon aus dem 5. Jh. sind lateinische Übersetzungen und Bearbeitungen bekannt, im 12. Jh. wurde E. aus dem Arabischen ins Lateinische übertragen.
Sicheres über sein Leben erfährt man nur von Proklos (In Eucl. El. I p. 68, 6 - 20 Friedlein)." Proklos lebte im 5. Jhdt. n. Chr. (Text s. unten; hier eine Zusammenfassung): 
•	jünger als Plat. und dessen direkte Schüler, älter als Archimedes (287-212) -> E. um 300 v.Chr.
•	Ausbildung (philosophisch und mathematisch) in Athen
•	Wirken und Lehre in Alexandria.

Überlieferte Werke
•	Stoice‹a (Elemente, 13 Bücher); stoice‹a: elementare Sätze: Definitionen, Postulate, Axiome; 
	aus ihnen werden deduktiv weitere Sätze abgeleitet, in Form von Aufgaben/Konstruktionen 
	(problhvmata) und Lehrsätzen (qewrhvmata).
		1 – 4: 	ebene Trigonometrie bis zur Konstruktion des regul. 15-Ecks in gegebenem Kreis
		5 – 6: 	Proportionen
		7 – 10: 	Arithmetik
		11 – 13:	räumliche Geometrie bis zur Konstruktion der regulären Polyeder (der plato-
			nischen Körper, Ziel des Werkes)
•	"Data" (planimetrische Probleme)
•	"Phaenomena" (Sphärik)
•	"Optica" (Perspektive)
•	"Sectio canonis" (math. Musiktheorie).

Antike Angabe zu Biographie und Werk:

Proklos, Eucl. El. p. 68, 6 – p. 69, 7 Friedlein (Auszug)
OÙ pÒlu d� 'toÚtwn <maqhtîn toà Pl£twnoj> neèterÒj ™stin EÙkle…dhj Ð t¦ stoice‹a sunagagën kaˆ poll¦ m�n tîn EÙdÒxou sunt£xaj, poll¦ d� tîn Qeait»tou telews£menoj, œti d� t¦ malakèteron deiknÚmena to‹j œmprosqen e“j ¢nelšgktouj ¢pode…xeij ¢nagagèn. Gšgone d� oátoj Ð ¢n¾r ™pˆ toà prètou Ptolema…ou: (...) ka… fasin Óti Ptolema‹oj ½retÒ pote aÙtÒn, e‡ t…j ™stin perˆ gewmetr…an ÐdÕj suntomwtšra tÁj stoiceièsewj: Ð d� ¢pekr…nato, m¾ e�nai basilik¾n ¢trapÕn ™pˆ gewmetr…an. Neèteroj m�n oân ™sti tîn perˆ Pl£twna, presbÚteroj d� 'Eratosqšnouj kaˆ 'Arcim»douj. Oátoi g¦r sÚgcronoi ¢ll»loij, éj poÚ fhsin 'Eratosqšnhj. Kaˆ tÍ proairšsei d� PlatwnikÒj ™sti kaˆ tÍ filosof…v taÚtV o“ke‹oj, Óqen d¾ kaˆ tÁj sump£shj stoiceièsewj tšloj proest»sato t¾n tîn kaloumšnwn Platwnikîn schm£twn sÚstasin. Poll¦ m�n oân kaˆ ¥lla toà ¢ndrÕj toÚtou maqhmatik¦ suggr£mmata qaumastÁj ¢kribe…aj ka… ™pisthmonikÁj qewr…aj mest£. (...) DiaferÒntwj d' ¥n tij aÙtÕn ¢gasqe…h kat¦ t¾n gewmetrik¾n stoice…wsin tÁj t£xewj ›neka kaˆ tÁj ™klogÁj tîn prÕj t¦ stoice‹a pepoihmšnwn qewrhm£twn te kaˆ problhm£twn.

Stoice‹a  ("Elemente")

Vorbemerkungen
•	Aufbau: Definitionen, Postulate, Axiome, Problemata, Theoremata, Porismata (Folgerungen), Lemmata (Hilfssätze)
•	sehr starke geometrische Orientierung
•	fehlende Algebra (von den Arabern erfunden)
•	Exaktheit des Aufbaus
•	bis heute gültige Terminologie.
Auswahl der Texte (alle aus dem 1. Buch)
• 	Die Definitionen, Postulate und Axiome
• 	Beweisschema anhand eines Problema; ein weiteres Problema, ein Theorema
• 	Satz von Pythagoras (Theorema).
Begründung der Euklid-Lektüre
• 	axiomatischer Aufbau der Mathematik
• 	exakte Wissenschaft (teilweise bis heute gültig!)
• 	Wirkung bis ins Mittelalter und in die Neuzeit
• 	Terminologie (u.a. auch) ins Deutsche übernommen
• 	Lektüre bekannter Sätze im Original
• 	logische Struktur der griech. Sprache (v.a. Konnektoren); Griechisch als Wissenschafts-
sprache.

Geometrie (Stoice‹a, 1. Buch)

Definitionen: OPOI	Kommentar:
a'	Shme‹Òn ™stin, oá mšroj oÙqšn.	Punkt	
b'	Gramm¾ d� mÁkoj ¢platšj.	Linie	
g'	GrammÁj d� pšrata shme‹a.	Begrenzung der Linie: keine neue Definition, sondern Verknüpfung zwischen a'. und b'.	
d'	EÙqe‹a gramm» ™stin, ¼tij ™x ‡sou to‹j ™f' ˜autÁj shme…oij ke‹tai.	Gerade, Strecke; sprachlich schwierig und auch umstritten: ™x ‡sou bedeutet ”in gleicher Weise”. Sinn der Definition: Eine Gerade ist in allen Punkten gleich, kein Punkt ist durch Asymmetrie hervorgehoben.
Moderne Definition: Eine Gerade ist die kürzeste Verbindung zwischen 2 Punkten.	
e'	'Epif£neia dš ™stin, Ö mÁkoj kaˆ pl£toj mÒnon œcei.	Fläche	
j'	'Epifane…aj d� pšrata gramma….	Begrenzung der Fläche: keine neue Definition, sondern Verknüpfung zwischen e'. und b'. 	
z'	'Ep…pedoj ™pif£nei£ ™stin, ¼tij ™x ‡sou ta‹j ™f' ˜autÁj eÙqe…aij ke‹tai.	Ebene; vgl. d'.	
h'	'Ep…pedoj d� gwn…a ™stˆn ¹ ™n ™pipšdJ dÚo grammîn ¡ptomšnwn ¢ll»lwn kaˆ m¾ ™p' eÙqe…aj keimšnwn prÕj ¢ll»laj (tîn grammîn) kl…sij.	Winkel zwischen beliebigen Kurven; s. q'	
q'	”Otan d� aƒ perišcousai t¾n gwn…an grammaˆ eÙqe‹ai ðsin, “eÙqÚgrammoj” kale‹tai ¹ gwn…a.	Winkel; Winkel werden heute nur noch mit Geraden (bei Kurven mit Tangenten) definiert.	
i'	”Otan d� eÙqe‹a ™p' eÙqe‹an staqe‹sa t¦j ™fexÁj gwn…aj ‡saj ¢ll»laij poiÍ, Ñrq¾ ˜katšra tîn ‡swn gwniîn ™sti, kaˆ ¹ ™festhku‹a eÙqe‹a “k£qetoj” kale‹tai, ™f' ¿n ™fšsthken.	Rechter Winkel: Die Existenz von rechten Winkel in Problema I, 11 bewiesen.	
ia'	'Amble‹a gwn…a ™stˆn ¹ me…zwn ÑrqÁj.	Stumpfer Winkel	
ib'	'Oxe‹a d� ¹ ™l£sswn ÑrqÁj.	Spitzer Winkel	
ig'	”Oroj ™st…n, Ó tinÒj ™sti pšraj.	Begrenzung: pšraj = Óroj	
id'	ScÁm£ ™sti tÕ ØpÕ tinoj ½ tinwn Órwn periecÒmenon.	Figur: Geraden u.Winkel sind ausgeschlossen.	
ie'	KÚkloj ™stˆ scÁma ™p…pedon ØpÕ mi©j grammÁj periecÒmenon ¿ kale‹tai “perifšreia”, prÕj ¿n ¢f' ˜nÕj shme…ou tîn ™ntÕj toà sc»matoj keimšnwn   p©sai aƒ prosp…ptousai eÙqe‹ai (prÕj t¾n toà kÚklou perifšreian)    ‡sai ¢ll»laij e“s…n.	Kreis: als Punktmenge definiert: 
k = {P | MP = r}	
ij'	“Kšntron d� toà kÚklou” tÕ shme‹on kale‹tai.	Mittelpunkt	
iz'	Di£metroj d� toà kÚklou ™stˆn eÙqe‹£ tij di¦ toà kšntrou ºgmšnh kaˆ peratoumšnh ™f' ˜k£tera t¦ mšrh ØpÕ tÁj toà kÚklou perifere…aj, ¼tij kaˆ d…ca tšmnei tÕn kÚklon.	Durchmesser	
ih'	`HmikÚklion dš ™sti tÕ periecÒmenon scÁma ØpÒ te tÁj diamštrou kaˆ tÁj ¢polambanomšnhj Øp' aÙtÁj perifere…aj. Kšntron d� toà ¹mikukl…ou tÕ aÙtÒ, Ö kaˆ toà kÚklou ™st…n.	Halbkreis	
iq'	Sc»mata eÙqÚgramm£ ™sti t¦ ØpÕ eÙqeiîn periecÒmena, tr…pleura m�n t¦ ØpÕ triîn, tetr£pleura d� t¦ ØpÕ tess£rwn, polÚpleura d� t¦ ØpÕ pleiÒnwn À tess£rwn eÙqeiîn periecÒmena.	Vielecke	
k'	Tîn d� tripleÚrwn schm£twn “sÒpleuron m�n tr…gwnÒn ™sti tÕ t¦j tre‹j ‡saj œcon pleur£j, “soskel�j d� tÕ t¦j dÚo mÒnaj ‡saj œcon pleur£j, skalhnÕn d� tÕ t¦j tre‹j ¢n…souj œcon pleur£j.	Dreiecke	
ka'	”Eti d� tîn tripleÚrwn schm£twn Ñrqogènion m�n tr…gwnÒn ™sti tÕ œcon Ñrq¾n gwn…an, ¢mblugènion d� tÕ œcon ¢mble‹an gwn…an, Ñxugènion d� tÕ t¦j tre‹j Ñxe…aj œcon gwn…aj.	Winkel in Dreiecken	
kb'	Tîn d� tetrapleÚrwn schm£twn tetr£gwnon mšn ™stin, Ö “sÒpleurÒn tš ™sti kaˆ Ñrqogènion, ˜terÒmhkej dš, Ö Ñrqogènion mšn, oÙk “sÒpleuron dš, ·Òmboj dš, Ö “sÒpleuron mšn, oÙk Ñrqogènion dš, ·omboeid�j d� tÕ t¦j ¢penant…on pleur£j te kaˆ gwn…aj ‡saj ¢ll»laij œcon, Ö oÜte “sÒpleurÒn ™stin oÜte Ñrqogènion: t¦ d� par¦ taàta tetr£pleura “trapšzia” kale…sqw.	Vierecke; Begriff ”Parallelogramm”, der später immer wieder gebraucht wird, fällt hier nicht, da die Eigenschaft ”parallel” noch nicht definiert wurde.
 	
kg'	Par£llhlo… e“sin eÙqe‹ai, a†tinej ™n tù aÙtù ™pipšdJ oâsai kaˆ ™kballÒmenai e“j ¥peiron ™f' ˜k£tera t¦ mšrh ™pˆ mhdštera sump…ptousin ¢ll»laij.	Parallelen	

Postulate:  AITHMATA			
'Hit»sqw 			
a'	¢pÕ pantÕj shme…ou ™pˆ p©n shme‹on eÙqe‹an gramm¾n ¢gage‹n.	hier nur die Existenz, die Eindeutigkeit folgt aus Axiom 9.	
b'	Kaˆ peperasmšnhn eÙqe‹an kat¦ tÕ sunec�j ™p' eÙqe…aj ™kbale‹n.	Verlängerung einer Strecke	
g'	Kaˆ pantˆ kšntrJ kaˆ diast»mati kÚklon gr£fesqai.	Existenz eines Kreises	
d'	Kaˆ p£saj t¦j Ñrq¦j gwn…aj ‡saj ¢ll»laij e�nai.	Rechte Winkel als Invariante	
e'	Kaˆ ™¦n e“j dÚo eÙqe…aj eÙqe‹a ™mp…ptousa t¦j ™ntÕj kaˆ ™pˆ t¦ aÙt¦ mšrh gwn…aj dÚo Ñrqîn ™l£ssonaj poiÍ, ™kballomšnaj t¦j dÚo eÙqe…aj ™p' ¥peiron sump…ptein, ™f' § mšrh e“sˆn aƒ tîn dÚo Ñrqîn ™l£ssonej.	sog. ”Parallelenaxiom”, viele vergebliche Versuche, dieses Postulat als Theorem zu beweisen (Ptolemaios, Proklos; bis in die Neuzeit).	

Axiome:  KOINAI ENNOIAI			
a'	T¦ tù aÙtù ‡sa kaˆ ¢ll»loij ™stˆn ‡sa.	Transitivität der Gleichheit (a = c und b = c Þ a = b)	
b'	Kaˆ ™¦n ‡soij ‡sa prosteqÍ, t¦ Óla ‡sa.	a = c, b = d Þ a + b = c + d	
g'	Kaˆ ™¦n ¢pÕ ‡swn ‡sa ¢faireqÍ, t¦ kataleipÒmen£ ™stin ‡sa.	a = c, b = d Þ a - b = c - d	
[d'	Kaˆ ™¦n ¢n…soij ‡sa prosteqÍ, t¦ Óla ™stˆn ¥nisa.]	a ­ c, b = d Þ a + b ­ c + d	
[e'	Kaˆ t¦ toà aÙtoà dipl£sia ‡sa ¢ll»loij ™st…n.]	a = b Þ 2 · a = 2 · b	
[j'	Kaˆ t¦ toà aÙtoà ¹m…sh ‡sa ¢ll»loij ™st…n.]	a = b Þ 0.5 · a = 0.5 · b	
z'	Kaˆ t¦ ™farmÒzonta ™p' ¥llhla ‡sa ¢ll»loij ™st…n.	Kongruentes ist gleich (flächen-)	
h'	Kaˆ tÕ Ólon toà mšrouj me‹zÒn ™st…n.	Ganzes > Teil	
q'	Kaˆ dÚo eÙqe‹ai cwr…on oÙ perišcousin.	Keine Fläche zwischen zwei Geraden. Dies trifft nur für die Euklidische Geometrie (die ”normale” Geometrie) zu, in der sphärischen Geometrie (= Geometrie auf der Kugel) umschliessen zwei Geraden, die nicht gleich sind, immer eine Fläche (nämlich die Fläche zwischen zwei Grosskreisen).	

	allgemeines Beweisschema
(das Fettgedruckte ist immer vorhanden)	

	PrÒblhma I, a'.	Konstruktion eines gleichseitigen Dreieckes	
	'Epˆ tÁj doqe…shj eÙqe…aj peperasmšnhj tr…gwnon “sÒpleuron sust»sasqai.	i)	prÒtasij: allgemeine Behauptung	
	”Estw ¹ doqe‹sa eÙqe‹a peperasmšnh ¹ AB.	ii)	œkqesij: Bezeichnung der gegebenen und der gesuchten Teile	
	De‹ d¾ ™pˆ tÁj AB eÙqe…aj tr…gwnon “sÒpleuron sust»sasqai.	iii)	diorismÒj: Behauptung mit den bezeichneten Teilen formuliert (Problema: de‹; Theorema: lšgw, Óti)	
5	  KšntrJ m�n tù A diast»mati d� tù AB kÚkloj gegr£fqw Ð BGD, kaˆ p£lin kšntrJ m�n tù B diast»mati d� tù BA kÚkloj gegr£fqw Ð AGE, kaˆ ¢pÕ toà G shme…ou, kaq' Ön tšmnousin ¢ll»louj oƒ kÚkloi, ™pˆ t¦ A, B shme‹a ™pezeÚcqwsan eÙqe‹ai aƒ GA, GB.	iv)	kataskeu»: Konstruktion des Gesuchten oder von Hilfslinien oder -punkten	

10	Kaˆ ™peˆ tÕ A shme‹on kšntron ™stˆ toà GDB kÚklou, ‡sh ™stˆn ¹ AG tÍ AB: p£lin, ™peˆ tÕ B shme‹on kšntron ™stˆ toà GAE kÚklou, ‡sh ™stˆn ¹ BG tÍ BA. 'Ede…cqh d� kaˆ ¹ GA tÍ AB ‡sh: ˜katšra ¥ra tîn GA, GB tÍ AB ™stˆn ‡sh. T¦ d� tù aÙtù ‡sa kaˆ ¢ll»loij ™stˆn ‡sa: kaˆ ¹ GA ¥ra tÍ GB ™stˆn ‡sh: aƒ tre‹j ¥ra aƒ GA, AB, BG ‡sai ¢ll»laij e“s…n.	v)	¢pÒdeixij: Beweis	
15	'IsÒpleuron ¥ra ™stˆ tÕ ABG tr…gwnon, kaˆ sunšstatai ™pˆ tÁj doqe…shj eÙqe…aj peperasmšnhj tÁj AB.	vi)	sumpšrasma: Folgerung 
	
	'Epˆ tÁj doqe…shj ¥ra eÙqe…aj peperasmšnhj tr…gwnon “sÒpleuron sunšstatai: Óper œdei poiÁsai.	i)	

PrÒblhma I, b'.
(...)	(Eine gegebene Strecke in einen gegebenen Punkt verschieben)	

PrÒblhma I, g'.	Eine kleinere Strecke von einer grösseren abziehen	

5

10

	DÚo doqeisîn eÙqeiîn ¢n…swn ¢pÕ tÁj me…zonoj tÍ ™l£ssoni ‡shn eÙqe‹an ¢fele‹n.
”Estwsan aƒ doqe‹sai dÚo eÙqe‹ai ¥nisoi aƒ AB, G, ïn me…zwn œstw ¹ AB:
de‹ d¾ ¢pÕ tÁj me…zonoj tÁj AB tÍ ™l£ssoni tÍ G ‡shn eÙqe‹an ¢fele‹n.
Ke…sqw prÕj tù A shme…J tÍ G eÙqe…v ‡sh ¹ AD: kaˆ kšntrJ m�n tù A diast»mati d� tù AD kÚkloj gegr£fqw Ð DEZ.
Kaˆ ™peˆ tÕ A shme‹on kšntron ™stˆ toà DEZ kÚklou, ‡sh ™stˆn ¹ AE tÍ AD: ¢ll¦ kaˆ ¹ G tÍ AD ™stin ‡sh. ˜katšra ¥ra tîn AE, G tÍ AD ™stin ‡sh: éste kaˆ ¹ AE tÍ G ™stin ‡sh.
DÚo ¥ra doqeisîn eÙqeiîn ¢n…swn tîn AB, G ¢pÕ tÁj me…zonoj tÁj AB tÍ ™l£ssoni tÍ G ‡sh ¢fÇrhtai ¹ AE: Óper œdei poiÁsai. 	

Qeèrhma d'.	sws,
indirekter Beweis	

5

10

15	'E¦n dÚo tr…gwna t¦j dÚo pleur¦j ta‹j dusˆ pleura‹j ‡saj œcV - ˜katšran ˜katšrv - kaˆ t¾n gwn…an tÍ gwn…v ‡shn œcV t¾n ØpÕ tîn ‡swn eÙqeiîn periecomšnhn, kaˆ t¾n b£sin tÍ b£sei ‡shn ›xei kaˆ tÕ tr…gwnon tù trigènJ ‡son œstai kaˆ aƒ loipaˆ gwn…ai ta‹j loipa‹j gwn…aij ‡sai œsontai ˜katšra ˜katšrv, Øf' §j aƒ ‡sai pleuraˆ Øpote…nousin.
”Estw dÚo tr…gwna t¦ ABG, DEZ t¦j dÚo pleur¦j t¦j AB, AG ta‹j dusˆ pleura‹j ta‹j DE, DZ ‡saj œconta ˜katšran ˜katšrv t¾n m�n AB tÍ DE t¾n d� AG tÍ DZ kaˆ gwn…an t¾n ØpÕ BAG gwn…v tÍ ØpÕ EDZ ‡shn.
Lšgw, Óti kaˆ b£sij ¹ BG b£sei tÍ EZ ‡sh ™st…n, kaˆ tÕ ABG tr…gwnon tù DEZ trigènJ ‡son œstai, kaˆ aƒ loipaˆ gwn…ai ta‹j loipa‹j gwn…aij ‡sai œsontai ˜katšra ˜katšrv, Øf' §j aƒ ‡sai pleuraˆ Øpote…nousin, ¹ m�n ØpÕ ABG tÍ ØpÕ DEZ, ¹ d� ØpÕ AGB tÍ ØpÕ DZE.	

20

25

30

35	'Efarmozomšnou g¦r toà ABG trigènou ™pˆ tÕ DEZ tr…gwnon kaˆ tiqemšnou toà m�n A shme…ou ™pˆ tÕ D shme‹on, tÁj d� AB eÙqe…aj ™pˆ t¾n DE, ™farmÒsei kaˆ tÕ B shme‹on ™pˆ tÕ E di¦ tÕ ‡shn e�nai t¾n AB tÍ DE: ™farmos£shj d¾ tÁj AB ™pˆ t¾n DE ™farmÒsei kaˆ ¹ AG eÙqe‹a ™pˆ t¾n DZ di¦ tÕ ‡shn e�nai t¾n ØpÕ BAG gwn…an tÍ ØpÕ EDZ: éste kaˆ tÕ G shme‹on ™pˆ tÕ Z shme‹on ™farmÒsei di¦ tÕ ‡shn p£lin e�nai t¾n AG tÍ DZ. 'All¦ m¾n kaˆ tÕ B ™pˆ tÕ E ™fhrmÒkei: éste b£sij ¹ BG ™pˆ b£sin t¾n EZ ™farmÒsei. E“(!!) g¦r    toà m�n B ™pˆ tÕ E ™farmÒsantoj, toà d� G ™pˆ tÕ Z    ¹ BG b£sij ™pˆ t¾n EZ oÙk ™farmÒsei, dÚo eÙqe‹ai cwr…on perišxousin: Óper ™stˆn ¢dÚnaton. 'EfarmÒsei ¥ra ¹ BG b£sij ™pˆ t¾n EZ kaˆ ‡sh aÙtÍ œstai: éste kaˆ Ólon tÕ ABG tr…gwnon ™pˆ Ólon tÕ DEZ tr…gwnon ™farmÒsei kaˆ ‡son aÙtù œstai, kaˆ aƒ loipaˆ gwn…ai ™pˆ t¦j loip¦j gwn…aj ™farmÒsousi kaˆ ‡sai aÙta‹j œsontai, ¹ m�n ØpÕ ABG tÍ ØpÕ DEZ ¹ d� ØpÕ AGB tÍ ØpÕ DZE.
'E¦n ¥ra dÚo tr…gwna t¦j dÚo pleur¦j ta‹j dÚo pleura‹j ‡saj œcV - ˜katšran ˜katšrv - kaˆ t¾n gwn…an tÍ gwn…v ‡shn œcV t¾n ØpÕ tîn ‡swn eÙqeiîn periecomšnhn, kaˆ t¾n b£sin tÍ b£sei ‡shn œxei kaˆ tÕ tr…gwnon tù trigènJ ‡son œstai kaˆ aƒ loipaˆ gwn…ai ta‹j loipa‹j gwn…aij ‡sai œsontai ˜katšra ˜katšrv, Øf' §j aƒ ‡sai pleuraˆ Øpote…nousin: Óper œdei de‹xai. 	

Satz von Pythagoras      			Qeèrhma mz'.
Proklos p. 426, 6 – 9 Friedlein:
”Wenn wir auf diejenigen hören, die das Alte erforschen wollen, können wir solche finden, die dieses Theorem auf Pythagoras zurückführen und die sagen, dass er bei der Entdeckung einen Stier geopfert habe.”
Pythagoras soll also einen Stier geopfert haben für die Entdeckung (und den Beweis?) dieses Satzes.
Proklos spricht im folgenden seine Bewunderung auch für Euklid aus.

5

	'En to‹j Ñrqogwn…oij trigènoij 
tÕ ¢pÕ tÁj t¾n Ñrq¾n gwn…an ØpoteinoÚshj pleur©j tetr£gwnon
 ‡son ™stˆ 
to‹j ¢pÕ tîn t¾n Ñrq¾n gwn…an periecousîn pleurîn tetragènoij.
”Estw tr…gwnon Ñrqogènion tÕ ABG Ñrq¾n œcon t¾n ØpÕ BAG gwn…an:
lšgw, Óti tÕ ¢pÕ tÁj BG tetr£gwnon ‡son ™stˆ to‹j ¢pÕ tîn BA,AG tetragènoij.	Voraussetzung für den Beweis: Scherung (in Theorema ma').
Satz stammt sicher von Pythagoras, dieser wird ihn jedoch vom Orient her übernommen haben; zusammen mit dem Satz kommt natürlich auch die Existenz des Irrationalen (insbes. von \r(2)) in den Bereich der Griechen.	

10

15

20

25

30

35

	'Anagegr£fqw g¦r ¢pÕ m�n tÁj BG tetr£gwnon tÕ BDEG, ¢pÕ d� tîn BA, AG t¦ HB, QG, kaˆ di¦ toà A Ðpotšrv tîn BD, GE par£llhloj ½cqw ¹ AL: kaˆ ™pezeÚcqwsan aƒ AD, ZG. Kaˆ ™peˆ Ñrq» ™stin ˜katšra tîn ØpÕ BAG, BAH gwniîn, prÕj d» tini eÙqe…v tÍ BA kaˆ tù prÕj aÙtÍ shme…J tù A dÚo eÙqe‹ai aƒ AG, AH m¾ ™pˆ t¦ aÙt¦ mšrh ke…menai t¦j ™fexÁj gwn…aj dusˆn Ñrqa‹j ‡saj poioàsin: ™p' eÙqe…aj ¥ra ™stˆn ¹ GA tÍ AH. Di¦ t¦ aÙt¦ d¾ kaˆ ¹ BA tÍ AQ ™stin ™p' eÙqe…aj. Kaˆ ™peˆ ‡sh ™stˆn ¹ ØpÕ DBG gwn…a tÍ ØpÕ ZBA: Ñrq¾ g¦r ˜katšra: koin¾ proske…sqw ¹ ØpÕ ABG: Ólh ¥ra ¹ ØpÕ DBA ÓlV tÍ ØpÕ ZBG ™stin ‡sh. Kaˆ ™peˆ ‡sh ™stˆn ¹ m�n DB tÍ BG, ¹ d� ZB tÍ BA, dÚo d¾ aƒ DB, BA dÚo ta‹j ZB, BG ‡sai e“sˆn ˜katšra ˜katšrv: kaˆ gwn…a ¹ ØpÕ DBA gwn…v tÍ ØpÕ ZBG ‡sh: b£sij ¥ra ¹ AD b£sei tÍ ZG [™stin] ‡sh, kaˆ tÕ ABD tr…gwnon tù ZBG trigènJ ™stˆn ‡son: kaˆ [™stˆ] toà m�n ABD trigènou dipl£sion tÕ BL parallhlÒgrammon: b£sin te g¦r t¾n aÙt¾n œcousi t¾n BD kaˆ ™n ta‹j aÙta‹j e“si parall»loij ta‹j BD, AL: toà d� ZBG trigènou dipl£sion tÕ HB tetr£gwnon: b£sin te g¦r p£lin t¾n aÙt¾n œcousi t¾n ZB kaˆ ™n ta‹j aÙta‹j e“si parall»loij ta‹j ZB, HG. [T¦ d� tîn ‡swn dipl£sia ‡sa ¢ll»loij ™st…n:] ‡son ¥ra ™stˆ kaˆ tÕ BL parallhlÒgrammon tù HB tetragènJ. `Omo…wj d¾ ™pizeugnumšnwn tîn AE, BK deicq»setai kaˆ tÕ GL parallhlÒgrammon ‡son tù QG tetragènJ: Ólon ¥ra tÕ BDEG tetr£gwnon dusˆ to‹j HB, QG tetragènoij ‡son ™st…n. Ka… ™sti tÕ m�n BDEG tetr£gwnon ¢pÕ tÁj BG ¢nagrafšn, t¦ d� HB, QG ¢pÕ tîn BA, AG. TÕ ¥ra ¢pÕ tÁj BG pleur©j tetr£gwnon ‡son ™stˆ to‹j ¢pÕ tîn BA, AG pleurîn tetragènoij.
'En ¥ra to‹j Ñrqogwn…oij trigènoij tÕ ¢pÕ tÁj t¾n Ñrq¾n gwn…an ØpoteinoÚshj pleur©j tetr£gwnon ‡son ™stˆ to‹j ¢pÕ tîn t¾n Ñrq¾n gwn…an periecousîn pleurîn tetragènoij: Óper œdei de‹xai.	

Wörter
Wörter in Anführungszeichen (”  ”) sind Lehnübersetzungen.

Lern-	Wörter	Nichtlern-	Wörter	

Proklos
tÕ stoice‹on	Buchstabe; Element	sun£gw	verfassen	
		sunt£ssw	ordnen	
		teleÒw	vollenden	
malakÒj	weich, sanft; nachlässig			
to‹j œmprosqen	Dat. auctoris!!	¢nšlegktoj	unwiderlegbar	
¹ ¢pÒdeixij	Beweis	™pibalèn	darauf	
		sÚntomoj	kurz	
		¹ ¢trapÒj	Weg	
		¹ proa…resij	wissenschaftliche Richtung, Gesinnung	
		tšloj pro…sthmi	als Ziel festlegen	
tÕ scÁma, atoj	Haltung; Gestalt, math. Figur			
sun-…sthmi
¹ sÚ-stasij	konstruieren
Konstruktion	diaferÒntwj	besonders	
		¹ ™klog»	Auswahl	
tÕ qeèrhma	Satz (math. Aussage)			
tÕ prÒblhma	Aufgabe, Konstruktion			
Geometrie 
Definitionen
a'	tÕ shme‹on	Zeichen; math. Punkt			
	oÙqšn	= oÙdšn			
b'	¹ gramm»	Linie			
	tÕ pl£toj	Breite	¢-plat»j, šj	ohne Breite	
	tÕ mÁkoj	Ausdehnung, Länge; Breite			
g'	tÕ pšraj	Ende			
d'	¹ eÙqe‹a (gramm»)	”Gerade”	™x ‡sou tin…	in gleicher Weise in bezug auf etw.	
e'	¹ ™pif£neia	Erscheinung; Aussenseite; math. Fläche			
z'	™p…pedoj, on	eben			
	¹ ™p…pedoj (™pif£neia)	Ebene			
h'	¹ gwn…a	”Winkel”			
	¤ptoma… tinoj	sich berühren -> sich schneiden			
	™p' eÙqe…aj	in der Verlängerung			
q'			eÙqÚgrammoj, on	”geradlinig”	
i'	™fexÁj	aufeinander folgend			
	Ñrq¾ gwn…a	”rechter Winkel”			
	¹ k£qetoj
< kaq…hmi	Lot, Senkblei; math. ”Kathete”: (heruntergelassen ->) senkrecht zu			
ia'			¢mblÚj, e‹a, Ú	”stumpf”; stumpf, schwach, stumpfsinnig	
ib'	ÑxÚj, e‹a, Ú	”spitz”; scharf, 
heftig, scharfsinnig			
id'	tÕ scÁma, atoj	Haltung; Gestalt,math.Figur			
ie'	Ð kÚkloj	Kreis			
	¹ perifšreia	”Peripherie”, Umfang	™ntÒj beim Gen.	innerhalb	
ij'	tÕ kšntron	Stachel; math. Mittelpunkt, ”Zentrum”			
iz'			¹ di£metroj	”Durchmesser”	
	eÙqe‹an ¥gw	eine Gerade ”ziehen”	d…ca	entzwei	
iq'	¹ pleur£
tr…-pleuroj, on	Seite, Flanke
”dreiseitig”			
k'	“sÒ-pleuroj, on	”gleichseitig”			
	tÕ tr…-gwnon	"Dreieck"			
	tÕ skšloj
“so-skel»j, ej	Schenkel; Bein
”gleichschenklig”	skalhnÒj, on	schief	
ka'	Ñrqo-gènioj, on	”rechtwinklig”	¢mblugènioj, on	”stumpfwinklig”	
			Ñxu-gènioj, on	”spitzwinklig”	
kb'	tÕ tetr£-gwnon	Quadrat	tÕ ˜terÒ-mhkej	Rechteck	
	Ð ·Òmboj	”Rhombus”			
	tÕ ·ombo-eidšj	Parallelogramm	¢penant…on	gegenüberliegend	
	-sqw	s. unten ”Postulate”, Anfang			
kg'	par£llhloj, on	”parallel”			
	™kb£llw	verlängern			

Postulate
	a“tšw	bitten, fordern			
oft	-tw,	-sqw
-ntwn,	-sqwn
-twsan	Imperat. 3.Sg. A,	MP
Imperat. 3.Pl. A, 	MP
Imperat. 3.Pl. A (spät)			
b'	pera…nw (tÕ pšraj)	beenden, math. begrenzen	kat¦ tÕ sunecšj	 unaufhörlich	
g'	tÕ di£sthma	Abstand, Radius			

Axiome
e'	dipl£sioj, on	doppelt			
z'			t¦ ™farmÒzonta ™p' ¥llhla	kongruierend	
q'			tÕ cwr…on	Fläche	

Beweisschema
Problemata					
a'	doqe…j, qe‹sa, qšn	”gegeben”			
	tšmnw kat£ ti	in etw. ”schneiden”	™pizeÚgnumi	verbinden; math. eine Verbindungslinie ziehen	
Theoremata					
d'	Øpote…nw (ØpÒ) ti	einem Winkel gegenüberliegen (vgl. ”Hypotenuse”)			
	ØpÒ ABG	Winkel ABG			
	™farmÒttwzw	trans.:	anpassen; 
	math. auf etw. legen
intr.:	auf etw. fallen, 	math. kongruieren			

Satz von Pythagoras

mz'			tÕ ¢pÕ pleur©j tetr£gwnon	das von einer Seite aufgespannte Quadrat, das Quadrat über einer Seite	
			¢nagr£fw	konstruieren	
			™pizeÚgnumi	verbinden; math. eine Verbindungslinie ziehen	

Skizzen
Problema I, a'

Problema I, g'

Theorema I, d'

Theorema I, mz'