Verschiedene Verfahren zum Lösen von Extremalaufgaben

Einfache numerische Verfahren zur Bestimmung von Minima und Maxima

Graphikfähige Taschenrechner und Computer Algebra Systeme verwenden zur Bestimmung von Minima und Maxima einer Funktion f häufig Verfahren, die auf einer einfachen iterativen Intervallreduktion basieren. Diese Verfahren sind in ihren einfachen, nicht optimierten Versionen auch für die Schülerinnen und Schüler problemlos nachvollziehbar. Allen Verfahren gemeinsam ist die Reduktion der Bestimmung der lokalen Maxima einer Funktion f(x) auf die Bestimmung der lokalen Minima der Funktion -f(x) oder umgekehrt. Durch Betrachtung des Graphen y=f(x) der Funktion und geeignete Wahl des relevanten Bereiches wird in einem ersten Schritt das Problem auf eine unimodale Funktion eingeschränkt. Unimodal heisst, dass die Funktion strikt fallend ist für Werte, die sich von links dem Minimum nähern und dass die Funktion rechts vom Minimum strikt wächst. Dann werden zwischen den beiden Endpunkten x1=a und x4=b des relevanten Intervalls [a,b] zwei weitere Punkte x2 und x3 mit x2 < x3 gewählt. Auswerten der Funktion f an den Stellen x1, x2, x3 und x4 und Vergleich der Funktionswerte ermöglicht eine Reduktion des betrachteten Intervalls [a,b] auf das Intervall [a,x3] oder [x2,b].

Minimum-Algorithmus für unimodale Funktion

Mit diesem neuen, kleineren Intervall wird analog weiterverfahren und es resultiert eine Intervallschachtelung, die gegen die Extremalstelle konvergiert. Durch geschickte Wahl der Punkte innerhalb des betrachteten Intervalls (Goldener Schnitt!) kann die Anzahl der pro Iterationsschritt benötigter Funktionsauswertungen reduziert werden. Weitere Optimierungen sind durch eine vorgängige parabolische Interpolation und andere Verfahren möglich. Details zu diesem als "Golden Section Search'' bekannten Algorithmus findet man beispielsweise in Kahaner.

Das hier gezeigte Verfahren hat gegenüber der traditionellen Schulmethode "Ableiten und Nullsetzen'' die folgenden Vorteile:

• Das Verfahren einer Intervallschachtelung entspricht unserer Intuition.
  
  
• Das Verfahren nutzt die Stärken moderner Computer-Hilfsmittel bei iterativen Verfahren aus.
  
  
• Das Verfahren kommt ohne das aufwendige Kalkül der Differentialrechnung aus. Extremalprobleme lassen sich damit im Unterricht viel früher als heute üblich behandeln.
  
  
• Das Verfahren lässt die Schülerinnen und Schüler im Gegensatz zur Methode "Ableiten und Nullsetzen'' nicht im falschen Glauben, alles in der Mathematik sei exakt und geschlossen lösbar.

Betrachten wir nochmals unser Problem der Stellungen des Kreuzkopfes mit maximaler, absoluter Beschleunigung. Für die Parameterwerte r=1, e=0 und l=5 -- einem typischen Verhältnis Kurbelradius / Pleuelstange bei einem zentrischen Schubkurbelgetriebe -- erhalten wir für den Bereich einer Umdrehung den Graph in Abbildung 3:

Beschleunigungsdiagramm

Eine Anwendung unseres numerischen Verfahrens bietet keine Probleme und liefert schnell eine gute Näherungslösung.